Exercice 654

Variations d'une suite définie par une intégrale, variations et limite

Contenu

- encadrement d'une intégrale
- signe d'une intégrale et variations de la suite définie par une intégrale
- étude du signe d'une fonction
- limite de la suite par comparaison

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L'objet de cette partie est d'étudier la suite $\left(I_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n\geq 1$ par $I_n = \int_0^1 ln\left(1+x^n\right)dx$.
  1. Démontrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, $ 0\leq I_{n}\leq ln(2)$.
    Sur $[0;1]$ on a $1\leq 1+x^n \leq 2$
    Pour tout réel $x\in[0;1]$ on a $0\leq x^n \leq 1$
    donc $1\leq 1+x^n \leq 2$
    La fonction $ln$ est continue et strictement croissante sur $]0;+\infty[$
    donc $ln(1)\leq ln\left(1+x^n\right)\leq ln(2)$
    soit $0\leq ln\left(1+x^n\right) \leq ln(2)$
    On a alors $\int_0^1 0dx\leq \int_0^1 ln\left(1+x^n\right)dx \leq \int_0^1 ln(2)dx$
    $\int_0^1 0dx= [C]_0^1=0$ ($C$ constante réelle) et $\int_0^1 ln(2)dx=[xln(2)]_0^1=1ln(2)-0ln(2)=ln(2)$

    donc $0\leq I_n \leq ln(2)$
  2. Etudier les variations de la suite $(I_{n})$ puis démontrer que la suite $\left(I_n\right)$ est convergente.
    Pour $x\in[0;1]$ on a $0\leq x^{n+1}\leq x^n$ soit $1\leq 1+x^{n+1\leq 1+x^n$
  3. La fonction $g$ est définie sur $[0;+\infty[$ par $g(x)=ln(1+x)-x$.
    1. Etudier les variations de $g$ et en déduire le signe de $g(x)$.
      Il faut étudier le signe de $g'(x)$ et calculer ensuite $g(0)$
    2. En déduire que $ln\left(1+x^n\right)\leq x^n$ puis la limite de la suite $(I_n)$.
      Utiliser le signe de $g\left(x^n\right)$


 
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