Exercice 652

Variations d'une suite définie par une intégrale

Contenu

- calcul du premier terme(primitive de exponentielle)
- étude des variations, linéarité de l'intégrale

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Pour tout entier naturel $n$ on pose $I_n=\int_0^1 x^ne^{-x}dx$
  1. Calculer $I_0$.
    Il faut chercher une primitive de $e^{-x}$ pour calculer $I_0$
    $\left(e^{-x}\right)'=(-x)'e^{-x}=-e^{-x}$
    donc $\left(-e^{-x}\right)'=e^{-x}$
    $I_0=\int_0^1 x^0e^{-x}dx=\int_0^1 e^{-x} dx =[-e^{-x}]_0^1=-e^{-1}-(-e^{-0})=-e^{-1}+1$

    $I_0=1-e^{-1}$
  2. Montrer que la suite $(I_n)$ est décroissante.
    On peut étudier le signe de $I_{n+1}-I_n$
    Si $f$ est positive sur $[a;b]$ avec $a < b$ alors $\int_a^b f(x()dx>0$
  3. Montrer que la suite $(I_n)$ est minorée et en déduire que $(I_n)$ est convergente.
    On a $x^ne^{-x} \geq 0$ sur $[0;1]$
  4. Montrer que pour tout entier naturel $n$ on a $x^ne^{-x} < x^n$ avec $x\in[0;1]$ et en déduire la limite de la suite $(I_n)$.
    pour $x\in [0;1]$, on a $e^x \geq 1$ et $e^{-x}=\dfrac{1}{e^x}$ donc $0 < e^{-x}\leq 1$


 
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