Exercice 646

Calcul d'une aire entre une parabole et une droite (aire entre deux courbes)

Contenu

- étude du signe d'un polynôme du second degré
- étude de la position relative d'une droite et d'une parabole
- recherche de primitives et calcul d'une intégrale

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On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2-3x+4$.
On note $(C_f)$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal.
La droite $(d)$ a pour équation réduite $y=2x$.
  1. Etudier le signe de $f(x)$ sur $\mathbb{R}$
    Il faut d'abord chercher les racines du polynôme.
    $\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4\times 1\times 4=9-16=-7$
    $f(x)$ n'admet aucune racine et donc $f(x)$ est du signe du coefficient $a=1$ de $x^2$

    $f(x)>0$ sur $\mathbb{R}$.
  2. Etudier la position relative de $C_f$ et $(d)$.
    Il faut étudier le signe de $f(x)-2x$
  3. Calculer, en unités d'aires, l'aire du domaine limité par la courbe $C_f$ et la droite $(d)$ pour $x\in [1;4]$.
    On a $C_f$ en-dessous de $(d)$ sur $[1;4]$.
    Il faut calculer $\int_1^4 f(t)dt- \int_1^4 2tdt$
    Il faut utiliser le fait que $f$ est continue et que $f(x)>0$ sur $[1;4]$ pour justifier que l'aire du domaine limité par $C_f$ l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=4$ est bien égale à $\int_1^4 f(t)dt$


 
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