Exercice 645

Calul de l'aire entre deux courbes

Contenu

- position relative d'une droite et d'une courbe, inéquation
- recherche de primitives et calcul d'une intégrale

Infos sur l'exercice

liens/options

  • afficher seulement énoncé
  • Afficher le PDF
  • télécharger le PDF
  • ex semblables
  • Documents associés
  • questions
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=6-x^2$ et $g(x)=e^x$.
On donne ci-dessous les représentations graphiques $(C_f)$ et $C_g$ respectivement des fonctions $f$ et $g$.
  1. Donner un encadrement, en unités d'aires, de l'aire $\mathcal{A}$ du domaine limité par $C_f$, $C_g$ et les droites d'équations $x=-1$ et $x=1$.
    Une unité d'aire contient 4 carreaux du quadrillage.
    Il faut déterminer le nombre de carreaux du quadrillage contenus dans le domaine cité et le nombre de carreaux entiers contenant le domaine cité ci-dessus.
    L'aire cherchée est hachurée en rouge sur la figure ci-dessous.

    L'aire cherchée contient 30 carreaux entiers du quadrillage et une unité d'aire (en orange) contient 4 carreaux du quadrillage donc $\mathcal{A} >\dfrac{30}{4}$ soit $\mathcal{A}>7,5$ unités d'aires.

    L'aire cherchée contient 44 carreaux entiers du quadrillage et une unité d'aire (en orange) contient 4 carreaux du quadrillage donc $\mathcal{A} <\dfrac{44}{4}$ soit $\mathcal{A}<11$ unités d'aires.

    $7,5 < \mathcal{A} < 11$ unités d'aires.
  2. Déterminer graphiquement le signe de $f(x)-g(x)$ sur $[-1;1]$.
    Il faut étudier la position relative de $C_f$ et $C_g$ sur $[-1;1]$
  3. Calculer la valeur exacte de cette aire.
    Il faut utiliser le fait que $f(x)>g(x)>0$ sur $[-1;1]$ et $f$ et $g$ sont continues sur $\mathbb{R}$


 
Haut de page