Exercice 643

Calcul d'une aire avec une fonction exponentielle

Contenu

- recherche d'une primitive avec exponentielle
- calcul d'une aire en unités d'aires puis en cm2

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On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=e^{3x}+1$.
On note $(C_f)$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère dont les unités sont 3 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées.
  1. Justifier que $f(x) >0$ pour tout réel $x$.
    Rappel: $e^x >0$ pour tout réel $x$.
    $e^{3x}>0$ sur $\mathbb{R}$ donc $e^{3x}+1>1>0$

    $f(x)>0$ sur $\mathbb{R}$.
  2. Calculer, en unités d'aire puis en cm$^2$, l'aire du domaine limité par $C_f$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=1$.
    Il faut chercher une primitive de $f$ et notamment de $e^{3x}$
    On a $\left(e^{3x}\right)'=3e^{3x}$


 
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