Exercice 642

Encadrement d'une intégrale par lecture graphique puis calcul d'une aire

Contenu

- encadrement d'une intégrale par lecture graphique
- primitives d'une fonction polynôme de degré 2
- calcul d'une aire

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On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-x^2+5x-4$ et dont la représentation graphique $(C_f)$ est donnée ci-dessous.
  1. Résoudre l'inéquation $f(x)\geq 0$
    Il faut déterminer les racines du polynôme
    $f(1)=-x+5-4=0$ donc $x_1=1$ est une racine du polynôme $-x^2+5x-4$
    Le produit des racines $x_1x_2=\dfrac{c}{a}$ avec $a=-1$ et $c=-4$
    donc $x_2=\dfrac{-4}{-1}=4$

    donc $f(x)\geq 0$ pour $x\in [1;4]$

    donc $S=[1;4]$
  2. Déterminer un encadrement de $\int_1^4 f(t)dt$ le plus précis possible avec le graphique donné.
    On a bien $f(x)\geq 0$ sur $[1;4]$
    $\int_1^4 f(t)dt$ est l'aire, en unités d'aires du domaine limité par la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=4$
  3. Calculer alors la valeur exacte de cette intégrale.
    Il faut déterminer une primitive $F$ de $f$ puis calculer $F(4)-F(1)$


 
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