Exercice 636

Signe d'une intégrale

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- étude du signe d'une intégrale connaissant le signe de la fonction
- application au signe d'une intégrale de f(x)=xex

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  1. $f$ est une fonction continue sur $[a;b]$ avec $a Montrer que si $f(x)>0$ sur $[a;b]$ alors $\int_a^b f(x)dx >0$
    Si $F$ est une primitive de $f$ sur $[a;b]$ on a alors $F'(x)>0$
    $f$ est continue sur $[a;b]$ donc admet des primitives sur $[a;b]$.
    Si $F$ est une primitive de $f$ sur $[a;b]$ on a alors $F'(x)=f(x)$.
    $\int_a^b f(x)dx=[F(x)]_a^b=F(b)-F(a)$
    On a $f(x)>0$ donc $F'(x)>0$ et la fonction $F$ est donc strictement croissante sur $[a;b]$.
    On a $a < b$ donc $F(a) < F(b)$ donc $F(b)-F(a)>0$

    donc $\int_a^b f(x)dx >0$
  2. En déduire le signe de $\int_{0}^2 xe^x dx$
    Il faut étudier le signe de la fonction $f$ définie sur $[0;2]$ par $f(x)=xe^x$.


 
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