Exercice 599

Composition de la fonction ln avec une fonction homographique (limites, dérivée et variations, tangente et courbe)

Contenu

Un exercice complet pour revoir les limites par composition avec ln et le calcul de la dérivée de ln(u)
- recherche de limites avec ln(u)
- limite d'une fonction homographique (limite d'un quotient)
- calcul de la dérivée et tableau de variation
- équation d'une tangente
- tracé de la courbe, des asymptotes et de la tangente

Infos sur l'exercice

liens/options

  • afficher seulement énoncé
  • Afficher le PDF
  • télécharger le PDF
  • ex semblables
  • Documents associés
  • questions
On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=ln\left(\dfrac{4x-1}{3-x}\right)$.
  1. Déterminer l'ensemble de définition de $f$.
    Il faut étudier le signe de $\dfrac{4x-1}{3-x}$ en utilisant un tableau de signes (signe d'un quotient)
    $ln$ est définie sur $]0;+\infty[$ donc il faut $\dfrac{4x-1}{3-x}>0$
    $4x-1$ s'annule pour $x=\dfrac{1}{4}$ et $3-x$ s'annule pour $x=3$

    On a donc $\dfrac{4x-1}{3-x}>0$ pour $x\in \left]\dfrac{1}{4};3\right[$.

    L'ensemble de définition de $f$ est $D_f=\left]\dfrac{1}{4};3\right[$.

    Remarques
    $3-x>0 \Longleftrightarrow -x> -3\Longleftrightarrow x<3$
    donc $3-x$ est positif pour $x$ inférieur à 3
    On a aussi $x\longmapsto 3-x$ fonction affine décroissante et s'annule en $x=3$ donc la représentation graphique de cette fonction affine est au-dessus de l'axe des abscisses pour $x<3$
  2. Etudier les limites de $f$ aux bornes de $D_f$.
    On cherche la limite de $\dfrac{4x-1}{3-x}$ puis par composition avec la limite de la fonction $ln$, on obtient la limite de $f$
    Limite en $x=3$ avec $x<3$
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3^-}4x-1=4\times 3-1=11$
    et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3^-}3-x=0^+$ car $x<3$ soit $3-x>0$
    et par quotient on a $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3^-}\dfrac{4x-1}{3-x}=+\infty$
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}ln(x)=+\infty$

    donc par composition $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3^-}f(x)=+\infty$

    Schématiquement, en posant $X=\dfrac{4x-1}{3-x}$

    Limite en $x=\dfrac{1}{4}$ avec $x>\dfrac{1}{4}$
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \frac{1}{4}^+}4x-1=4\times \dfrac{1}{4}-1=0^+$ car $x>\dfrac{1}{4}$ soit $4x-1>0$
    et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \frac{1}{4}^+}3-x=3-\dfrac{1}{4}=\dfrac{11}{4}$
    et par quotient on a $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \frac{1}{4}^+}\dfrac{4x-1}{3-x}=0^+$
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+}ln(x)=-\infty$

    donc par composition $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \frac{1}{4}^+}f(x)=-\infty$


    Schématiquement, en posant $X=\dfrac{4x-1}{3-x}$

    Interprétation graphique: La courbe admet donc les droites d'équations $x=\dfrac{1}{4}$ et $x=3$ pour asymptotes.
  3. Calculer la dérivée $f'(x)$ et dresser le tableau de variation de $f$
    Il faut calculer la dérivée de la fonction $u(x)=\dfrac{4x-1}{3-x}$
  4. Déterminer l'équation réduite de la tangente $\Delta$ à la courbe au point d'abscisse $2$.
    Il faut calculer $f\left(2\right)$ et $f'\left(2\right)$
  5. Tracer $\mathcal{C}$ et $\Delta$ dans le repère ci-dessous.
    On peut utiliser le MENU TABLE pour obtenir les valeurs approchées de $f(x)$ pour $x\in D_f$
    Tracer les asymptotes d'équations $x=\dfrac{1}{4}$ et $x=3$


 
Haut de page