Exercice 598

Etude d\'une fonction et suite définie par une relation un+1=f(un) d\'après BAC S 2012 sujet Nlle Calédonie

Contenu

- étude des limites et variations d'une fonction avec ln
- théorème de la valeur intermédiaire
- étude d'une suite définie par un+1=f(un<\sub>)
- représentation graphique des premiers termes de un
- étude des variations et convergence de la suite un

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Partie A
On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0;+ \infty[$ par $f(x) = 5ln (x + 3) - x$.
    1. On appelle $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $[0;+ \infty[$.
      Calculer $f'(x)$ et étudier son signe sur $[0;+ \infty[$.
      On pose $u(x)=x+3$ et on a $f(x)=5ln(u(x))-x$
      Il faut réduire $f'(x)$ au même dénominateur pour étudier son signe ( on a $x\geq 0$ donc $x+3 >0$)
      $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ (énoncé)
      et on pose $u(x)=x+3$ et on a $f(x)=5ln(u(x))-x$
      $f'(x)=5\times \dfrac{u'(x)}{u(x)}-1$
      $\phantom{f'(x)}=\dfrac{5}{x+3}-1$
      $\phantom{f'(x)}=\dfrac{5}{x+3}-\dfrac{x+3}{x+3}$
      $\phantom{f'(x)}=\dfrac{5-x-3}{x+3}$
      $\phantom{f'(x)}=\dfrac{2-x}{x+3}$

      $f'(x)=\dfrac{2-x}{x+3}$

      Remarque
      Penser à contrôler le calcul de $f'(x)$ avec le MENU TABLE de la calculatrice en saisissant Y1=$f(x)$ et Y2=$f'(x)$ en vérifiant que l'option DERIVATIVE est sur ON (shift OPTIONS).
      Les valeurs affichées pour Y'1 et Y2 doivent être identiques.
      Voir aussi fiche méthode chapitre 3: contrôler une dérivée avec la calculatrice.

      $x \geq 0$ donc $x+3>0$ et $f'(x)$ est du signe de $2-x$.
      $2-x >0 \Longleftrightarrow -x>-2 \Longleftrightarrow x <2$

      donc $f'(x)>0$ pour $x\in [0;2[$ et $f'(x) <0$ pour $x\in ]2;+\infty[$.
    2. Donner, dans un tableau, les variations de $f$ sur l'intervalle $[0;+\infty[$.
      On a donc le tableau de variation suivant:

      avec $f(0)=5ln(0+3)-0=5ln(3)$ et $f(2)=5ln(2+3)-2=5ln(5)-2$
    3. Montrer que, pour tout $x$ strictement positif on a:
      $f(x) = x\left(5\frac{ln x}{x} - 1\right) + 5 ln \left(1 + \dfrac{3}{x}\right)$.
      On peut écrire que $x+3=x\left(1+\dfrac{3}{x}\right)$ puis factoriser $x$ dans l'expression de $f(x)$
    4. En déduire la limite de $f$ en $+ \infty$.
      On peut chercher les limites de $5\dfrac{ln (x)}{x}- 1$ puis de $x\left(5\dfrac{ln (x)}{x}- 1\right)$ et de $5ln\left(1+\dfrac{3}{x}\right)$
    5. Compléter le tableau de variation de $f$ sur l'intervalle $[0;+ \infty[$.
      Il faut ajouter la limite obtenue en $+\infty$
    1. Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution dans l'intervalle $[0;+ \infty[$. On notera $\alpha$ cette solution.
      Il faut décomposer l'ensemble de définition en deux intervalles $[0;2]$ et $[2;+\infty[$
      Sur $[0;2]$ on a $f(0)=5ln(3)$ donc $f(0)>0$
    2. Après avoir vérifié que $\alpha$ appartient à l'intervalle [14;15], donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
      Il faut calculer $f(14)$ et $f(15)$ puis encadrer $\alpha$ aux millièmes pour pouvoir arrondir aux centièmes.
    3. En déduire le signe de $f$ sur l'intervalle $[0;+ \infty[$.
      Sur $[2;+\infty[$ on a $f$ continue et décroissante avec $f(\alpha)=0$
\bigskip Partie B
Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par $u_{0} =4$ et $u_{n+1} = 5 ln \left(u_{n} + 3\right)$ pour tout entier naturel $ n \neq 0$
On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0;+ \infty[$ par $g(x) = 5 ln (x + 3)$.
On donne ci-dessous dans un repère orthonormé la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x$ et la courbe $\mathcal{C}$, courbe représentative de la fonction $g$.

    1. Construire sur l'axe des abscisses de l'annexe 1 les termes $u_{0}$, $u_{1}$, $u_{2}$ de la suite $\left(u_{n}\right)$ en utilisant la droite et la courbe données et en laissant apparents les traits de construction.
      On a $u_1$ image de $u_0$ par $g$ et on peut placer $u_1$ sur l'axe des abscisses en utilisant la droite d'équation $y=x$
    2. Formuler une conjecture sur le sens de variations de la suite $\left(u_{n}\right)$
    1. Étudier le sens de variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0;+ \infty[$.
      On pose $u(x)=x+3$ et on a $g(x)=5ln(u(x))$
      on a $x\geq 0$ donc $x+3 >0$)
    2. Vérifier que $g(\alpha) = \alpha$ où $\alpha$ est défini dans la partie A question 2. a.
      rappel $f(\alpha)=5ln(\alpha+3)-\alpha=0$
    3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $0 \leq u_{n} \leqslant \alpha$.
      Si $0\leq x \leq \alpha$ on a $g(0) \leq g(x) \leq g(\alpha)$
      Il faut utiliser un raisonnement par récurrence en vérifiant d'abord que la propriété est vraie pour $n=0$.
    4. Démontrer alors la conjecture émise à la question 1. b. de la partie B.
      On peu étudier le signe de $u_{n+1}-u_n=f(u_n)$ et utiliser le signe de $f(x)$ sur $[0;\alpha]$
    5. En utilisant la question 2. a. de la partie A, justifier que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_{n} = \alpha$.
      Si la limite est $\ell$ on a $g(\ell)=\ell$
  1. On considère l'algorithme suivant :
    1. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète ou d'initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
      Justifier que cet algorithme se termine.
      A chaque passage dans la boucle, on calcule $u_{n+1}=g(u_n)$
      On a $\alpha > 14,2$ puisque $\alpha \approx 14,23$
    2. Donner la valeur que cet algorithme affiche (on arrondira à $5$ décimales).
      On peut calculer les termes de la suite $(u_n)$ avec la calculatrice (MENU TABLE avec un pas de 1) ou MENU RECUR.
      On cherche à partir de quel rang on a $u_n \geq 14,2$


 
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