Exercice 597

Etude d'une fonction et suite définie par une relation un+1=f(un) d'après BAC S 2012 sujet Antilles

Contenu

- étude des limites et variations d'une fonction avec ln
- étude d'une suite définie par un+1=f(un)
- représentation graphique des premiers termes de un
- étude des variations et convergence de la suite un

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Partie A : étude d'une fonction
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]1;+ \infty[$ par $f(x) = \dfrac{x}{ln x}$.
Sur l'annexe jointe, on a tracé dans un repère orthogonal la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ ainsi que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x$.
  1. Calculer les limites de la fonction $f$ en $+ \infty$ et en $1$.
    $\dfrac{x}{ln x}$ est l'inverse de $\dfrac{ln x}{x}$
    $ln(1)=0$
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{ln(x)}{x}=0^+$ (limite du cours)
    et $\dfrac{x}{ln(x)}$ est l'inverse de $\dfrac{ln(x)}{x}$

    donc $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{x}{ln x}=+\infty$.

    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^+}x=1$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^+}ln(x)=0^+$ car $ln(1)=0$ et $ln(x)>0$ pour $x >0$

    donc par quotient on a $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^+}f(x)=+\infty$
  2. Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]1;+ \infty[$.
    On pose $u(x)=x$ et $v(x)=ln(x)$ et on a $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$
    On pose $u(x)=x$ et $v(x)=ln(x)$ et on a $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$
    $u$ et $v$ sont dérivables sur $]1;+\infty[$ donc $f$ est dérivable sur $]1;+\infty[$.
    $u'(x)=1$ et $v'(x)=\dfrac{1}{x}$.
    $f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$
    $\phantom{f'(x)}=\dfrac{1ln(x)-x\times \dfrac{1}{x}}{(ln(x))^2}$
    $\phantom{f'(x)}=\dfrac{ln(x)-1}{(ln(x))^2}$

    $f'(x)=\dfrac{ln(x)-1}{(ln(x))^2}$

    $(ln(x))^2>0$ sur $]1;+\infty[$ donc $f'(x)$ est du signe de $ln(x)-1$.
    $ln(x)-1 >0 \Longleftrightarrow ln(x)>1 \Longleftrightarrow x> e$
    donc $f'(x)>0$ sur $]e;+\infty[$ et $f'(x)< 0$ sur $]1;e[$

    donc $f$ est strictement décroissante sur $]1;e[$ et strictement croissante sur $]e;+\infty[$.
  3. En déduire que si $x \geqslant e$ alors $f(x) \geqslant e$.
    $f$ est continue et strictement croissante sur $[e;+\infty[$
    Calculer $f(e)$

Partie B : étude d'une suite récurrente
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0}=5$ et pour tout entier naturel} $ n$, $u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)$.
  1. Sur l'annexe jointe, à rendre avec la copie, en utilisant la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\mathcal{D}$, placer les points $A_{0}$, $A_{1}$ et $A_{2}$ d'ordonnée nulle et d'abscisses respectives $u_{0}$, $u_{1}$ et $u_{2}$. On laissera apparents les traits de construction.
    \includegraphics[scale=0.5]{fig1}
    Quelles conjectures peut-on faire sur les variations et la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
    On a $u_1$ image de $u_0$ par $f$.
    1. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n} \geqslant e$.
      Si $x \geq e$ on a $f(x) \geq e$
      Il faut utiliser un raisonnement par récurrence en vérifiant d'abord que la propriété est vraie pour $n=0$.
    2. Déterminer les variations de la suite $\left(u_{n}\right)$.
      On peut étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$
    3. En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente.
      La suite est décroissante et $u_n\geq e$
    4. Déterminer sa limite $\ell$.
      Si $(u_n)$ converge vers $\ell$ alors on a $\ell$ solution de l'équation $f(x)=x$


 
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