Exercice 594

ln(f) avec f définie graphiquement

Contenu

- Lecture graphique d'une limite et du nombre dérivé
- variations de la fonction ln(f)
- calcul d'une dérivée avec ln et étude des variations

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La courbe ($\mathcal{C}$) donnée ci-dessous représente dans un repère orthonormal une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0 ;+\infty[$ à valeurs strictement positives sur l'intervalle $[0;+\infty[$. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.
On sait que :
- La fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle [0 ; 2] et strictement décroissante sur l'intervalle $[2;+\infty[$.
- La courbe ($\mathcal{C}$) passe par les points O, A et B.
- Le point A a pour coordonnées (1;1) ; la droite (OA) est tangente à la courbe ($\mathcal{C}$) au point A.
- Le point B a pour coordonnées $\left(2~;~\dfrac{4}{\text{e}}\right)$. Au point B, la courbe ($\mathcal{C}$) admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses.
- L'axe des abscisses est asymptote à la courbe ($\mathcal{C}$).

PARTIE A
  1. Donner $\displaystyle\lim_{x\to + \infty} f(x)$, puis $f'(1)$ et $f'(2)$ (justifier les résultats).
    $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $a$
    L'axe des abscisses est asymptote à la courbe ($\mathcal{C}$)

    donc $\displaystyle\lim_{x\to + \infty} f(x)=0$

    $f'(1)$ est le coefficient directeur de la tangente au point $A$ de la courbe d'abscisse 1
    et la droite (OA) est tangente à la courbe ($\mathcal{C}$) au point A
    donc $f'(1)=\dfrac{y_A-y_O}{x_A-x_O}=\dfrac{1-0}{1-0}=1$

    $f'(1)=1$

    La tangente au point $B$ d'abscisse 2 est parallèle à l'axe des abscisses et a donc pour coefficient directeur 0

    donc $f'(2)=0$
  2. Montrer que, dans l'intervalle $[0;+\infty[$, l'équation $f(x) = 1$ admet exactement deux solutions dont l'une est le nombre $1$ ; l'autre solution est notée $\alpha$.
    Il faut utiliser les variations de $f$ et utiliser les intervalles sur lesquels $f$ est monotone (soit croissante, soit décroissante).
    $f$ est continue et strictement croissante sur $[0;2]$ et 1 est compris entre $f(0)$ et $f(2)$
    donc d'après le théorème de la valeur intermédiaire l'équation $f(x)=1$ admet une solution unique sur $[0;2]$.
    On a de plus $f(1)=1$ donc $f(x)=1$ admet pour unique solution $x=1$ sur $[0;2]$.
    $f$ est continue et strictement croissante sur $[2;+\infty[$ et 1 est compris entre $f(2)$ et $\displaystyle\lim_{x\to + \infty} f(x)=0$
    donc d'après le théorème de la valeur intermédiaire l'équation $f(x)=1$ admet une solution unique $\alpha$ sur $[2;+\infty[$.

    $f(x)=1$ admet donc deux solutions $1$ et $\alpha$ avec $\alpha >2$.
  3. On considère la fonction $g$ définie par $g(x) = ln[f(x)]$.
    1. Déterminer l'ensemble de définition de $g$.
      $g$ est définie pour tout réel $x$ tel que $f(x) >0$
    2. Déterminer le sens de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0;+\infty[$.
      $g'(x)$ est du signe de $f'(x)$...
    3. En utilisant la question 1, déterminer $\displaystyle\lim_{x\to + \infty} g(x)$.
      La fonction $g$ est la composée de la fonction $f$ et de la fonction $ln$
    4. Déterminer $g'(1)$ et $g(2)$.
      On a $g'(x)=\dfrac{f'(x)}{f(x)}$ donc il faut utiliser $f'(1)$ et $f(1)$

PARTIE B
Dans cette partie, on admet que la fonction $f$ représentée ci-dessus est définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par $f(x) = x^2 \times \text{e}^{-x+1}$.
On rappelle que la fonction $g$ est définie sur l'intervalle $]0;+\infty[$ par $g(x) = ln [f(x)]$.
  1. Montrer que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0;+\infty[$ on a $g(x) = -x + 1 + 2 ln x$.
    $ln\left(e^x\right)=x$ et $ln\left(x^2 \times \text{e}^{-x+1}\right)=ln\left(x^2\right)+ln\left(e^{-x+1}\right)$
  2. La fonction $g$ est dérivable sur l'intervalle $]0;+\infty[$, on note $g'$ sa fonction dérivée.
    Calculer $g'(x)$ pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0;+\infty[$.
    Retrouver, par le calcul, le sens de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0;+\infty[$.
    Il faut calculer $g'(x)$ et étudier son signe.


 
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