Exercice 593

Déterminer l'expression de f

Contenu

- Exprimer la dérivée de f contenant ln
- déterminer les coefficients a et b de l'expression de f en utilisant f et f'
- recherche des limites avec ln et cas d'indétermination
- dérivée et tableau de variation de f
- tracer de la courbe et de tangentes

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On considère la fonction numérique $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=aln(x)+bx$ où $a$ et $b$ sont deux réels.
On note $(C_f)$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal.
  1. Exprimer la dérivée $f'(x)$ en fonction de $a$ et $b$.
    $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ (somme de deux fonctions dérivables).
    $f'(x)=a\times \dfrac{1}{x}+b$

    $f'(x)=\dfrac{a}{x}+b$
  2. $C_f$ admet une tangente d'équation $y=-x-2$ au point de la courbe d'abscisse 1.
    Déterminer $a$ et $b$.
    Il faut écrire deux équations en utilisant le coefficient directeur de la tangente et les coordonnées du point de contact de la tangente et de $C_f$.
    Le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 1 est $f'(1)$ et vaut $-1$.
    $f'(1)=\dfrac{a}{1}+b=-1 \Longleftrightarrow a+b=-1$
    Le point de contact de la tangente et de la courbe a pour ordonnée $y=-1-2=-3$ donc $f(1)=-3$.
    On a alors $f(1)=aln(1)+b\times 1=b=-3$ (rappel $ln(1)=0$)
    $b=-3$ et $a+b=-1$ soit $a-3=-1$ donc $a=2$.

    On a $a=2$ et $b=-3$ donc $f(x)=2ln(x)-3x$
  3. Déterminer les limites de $f$ en $0^+$ et en $+\infty$.
    Pour déterminer la limite en 0, on cherche la limite de chacun des deux termes de $f(x)$
    en $+\infty$ la limite de la somme est indéterminée et il faut factoriser $x$ pour utiliser la limite de $\dfrac{ln(x)}{x}$ en $+\infty$
  4. Dresser le tableau de variation de $f$.
    Il faut étudier le signe de $f'(x)$
  5. Compléter le tracé de $C_f$ dans le repère ci-dessous et tracer la tangente au point d'abscisse 1.
    Placer le maximum de $f$ et utiliser un tableau de valeurs (MENU TABLE de la calculatrice).


 
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