Exercice 592

Etude d'une fonction avec ln- utilisation d'une fonction auxiliaire

Contenu

- étude des variations d'une fonction avec ln
- théorème de la valeur intermédiaire et nombre de solutions de g(x)=0
- signe de la fonction auxiliaire g
- dérivée et limites d'une fonction avec ln (quotient)
- tableau de variation en utilisant une fonction auxiliaire g
- allure de la courbe

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On considère la fonction numérique $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{xln(x)}{x+1}$.
On note $(C_f)$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal.
  1. On pose $g(x)=ln(x)+x+1$ définie sur $]0;+\infty[$
    1. Etudier les variations de la fonction $g$.
      Pour étudier le signe de $g'(x)$ on a $x >0$
      La fonction $ln$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ donc $g$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ (somme de fonctions dérivables).
      $g'(x)=\dfrac{1}{x}+1$
      On a $x >0$ donc $\dfrac{1}{x}> 0$ et on a alors $g'(x)>0$

      donc $g$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$
    2. Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ avec $0,27 < \alpha < 0,28$.
      Il faut utiliser le sens de variation de $g$ et calculer $g(0,27)$ et $g(0,28)$
      $g(0,27)=ln(0,27)+0,27+1\approx -0,04$ et $g(0,28)=ln(0,28)+0,28+1\approx 0,007$
      $g$ est continue sur $]0;+\infty[$ (somme de fonctions continues) et strictement croissante sur $]0;+\infty[$
      et 0 est compris entre $g(0,27)$ et $g(0,28)$ donc d'après le théorème de la valeur intermédiaire

      l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha \in ]0,27;0,28[$.
    3. En déduire le signe de $g(x)$ sur $]0;+\infty[$.
      $g$ est strictement croissante et $g(\alpha)=0$
  2. Etude de la fonction $f$.
    1. Déterminer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
      En 0, on peut chercher la limite du numérateur et celle du dénominateur.
      En $+\infty$ on peut lever l'indétermination en factorisant $x$ au numérateur et au dénominateur
    2. Calculer la dérivée de $f$ et dresser le tableau de variation de $f$.
      On donnera une valeur approchée de l'extremum de $f$ en arrondissant $\alpha$ aux dixièmes.
      On pose $u(x)=xln(x)$ et $v(x)=x+1$ et on a $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$
      $u$ est le produit de $x$ et de $ln(x)$
    3. Montrer que $f(\alpha)=\alpha$
      On a $g(\alpha)=ln(\alpha)+\alpha+1=0$
    4. Résoudre l'équation $f(x)=0$.
      $f(x)=0 \Longleftrightarrow xln(x)=0$ (produit de deux facteurs)
  3. Tracer $C_f$ en mettant en évidence les résultats précédents (extremum, intersection de $C_f$ et de l'axe des abscisses).
    On peut placer le point $S(\alpha; \alpha)$ et le point $A(1;0)$.


 
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