Exercice 561

Démonstration des propriétés algébriques du logarithme

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- démonstration de ln(ab)=ln(a)+ln(b)
- démonstration de ln(1/a)=-ln(a)

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$a$ et $b$ sont deux réels strictement positifs.
  1. En posant $a=e^{ln(a)}$ et $b=e^{ln(b)}$ montrer que $ln(ab)=ln(a)+ln(b)$
    On rappelle que $e^ae^b=e^{a+b}$
    Calculer $e^{ln(a)}\times e^{ln(b)}$
    On pose $a=e^{ln(a)}$ et $b=e^{ln(b)}$
    $e^{ln(a)}e^{ln(b)}=e^{ln(a)+ln(b)}$ et on a $ab=e^{ln(ab)}$
    donc $e^{ln(a)+ln(b)}=e^{ln(ab)}\Longleftrightarrow ln(a)+ln(b)=ln(ab)$

    donc $ln(a)+ln(b)=ln(ab)$
  2. En déduire que $ln\left(\dfrac{1}{a}\right)$
    On pose $b=\dfrac{1}{a}$


 
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