Exercice 547

Etude d'une fonction avec ln, tangente et courbe

Contenu

- recherche de l'ensemble de définition
- calcul d'une dérivée avec un quotient
- tableau de variation
- équation réduite d'une tangente
- équation avec ln et changement de variable
- courbe

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La fonction $f$ est définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=(ln(x))^2-6ln(x)+5$.
  1. Justifier que $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et calculer $f'(x)$.
    On pose $u(x)=ln(x)$ et on a $(u^2)'=2u'u$
    On pose $u(x)=ln(x)$ dérivable sur $]0;+\infty[$
    donc $u^2$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et la somme $f=u^2-6u+5$ est donc dérivable sur $]0;+\infty[$
    et on a $u'(x)=\dfrac{1}{x}$
    $f'(x)=2u'(x)u(x)-6u'(x)+0$
    $\phantom{f'(x)}=2\times \dfrac{1}{x}\times ln(x)-6\times \dfrac{1}{x}$ $\phantom{f'(x)}=\dfrac{2ln(x)}{x}-\dfrac{6}{x}$
    $\phantom{f'(x)}=\dfrac{2ln(x)-6}{x}$

    $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et $f'(x)=\dfrac{2ln(x)-6}{x}$

    Remarque
    Penser à contrôler le calcul de la dérivée avec la calculatrice (MENU TABLE) en saisissant Y1=$f(x)$ et Y2=$f'(x)$ pour vérifier que Y'1 et Y2 ont le même tableau de valeurs (OPTION DERIVATIVE sur ON)
    Voir aussi fiche méthode chapitre 3: contrôler une dérivée avec la calculatrice
  2. En déduire le tableau de variation de $f$ (on ne demande pas les limites)
    Il étudier le signe de $2ln(x)-6$
    $x>0$
    donc $f'(x)$ est du signe de $2ln(x)-6$
    $2ln(x)-6>0 \Longleftrightarrow 2ln(x)>6$
    $\phantom{2ln(x)-6>0} \Longleftrightarrow ln(x)>3$
    $\phantom{2ln(x)-6>0} \Longleftrightarrow ln(x)>ln\left(e^3\right)$ (rappel $ln\left(e^3\right)=3ln(e)=3$)
    $\phantom{2ln(x)-6>0} \Longleftrightarrow x>e^3$
    donc $f'(x)>0$ sur $]e^3;+\infty[$

    $f\left(e^3\right)=ln\left(e^3\right)^2-6ln(\left(e^3\right)-5$
    $\phantom{f\left(e^3\right)}=3^2-6\times 3+5$
    $\phantom{f\left(e^3\right)}=-4$
  3. Déterminer l'équation réduite de la tangente $T$ à la courbe au point d'abscisse 1
    Il faut calculer $f'(1)$ et $f(1)$
  4. Déterminer les abscisses des points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses.
    Il faut poser $X=ln(x)$
  5. Tracer la représentation graphique de $f$ et la tangente $T$.
    On utilise le MENU Table de la calculatrice pour placer suffisamment de points et obtenir un tracé précis
    Il faut aussi placer le minimum de $f$ et la tangente en ce point (parallèle à l'axe des abscisses)


 
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