Exercice 541

Dérivées de base avec ln

Contenu

- calculs de dérivées avec la fonction ln
- dérivée d'un produit et d'un quotient

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Calculer la dérivée de $f$ définie et dérivable sur $]0;+\infty[$.
  1. $f(x)=xln(x)$
    On pose $u(x)=x$ et $v(x)=ln(x)$ et on a $f(x)=u(x)\times v(x)$
    On pose $u(x)=x$ et $v(x)=ln(x)$ et on a $f(x)=u(x)\times v(x)$.
    $u$ et $v$ sont dérivables sur $]0;+\infty[$
    $u'(x)=1$ et $v'(x)=\dfrac{1}{x}$
    $f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$
    $\phantom{f'(x)}=1ln(x)+x\times \dfrac{1}{x}$
    $\phantom{f'(x)}=ln(x)+1$

    $f'(x)=ln(x)+1$

    Remarque
    Penser à contrôler le calcul de la dérivée avec la calculatrice (MENU TABLE) en saisissant Y1=$f(x)$ et Y2=$f'(x)$ pour vérifier que Y'1 et Y2 ont le même tableau de valeurs (OPTION DERIVATIVE sur ON)
    Voir aussi fiche méthode chapitre 3: contrôler une dérivée avec la calculatrice
  2. $f(x)=\dfrac{ln(x)}{x}$
    On pose $u(x)=x$ et $v(x)=ln(x)$ et on a $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$
  3. $f(x)=(ln(x)+2)^2$
    On pose $u(x)=ln(x)$ et on a $f(x)=\left(u(x)\right)^2$
  4. $f(x)=ln(3)x^3+2ln(x)$
    $ln(3)$ est une constante et $(ku)'=ku'$ (par exemple $(3x^3)'=3(x^3)'=3\times 3x^2$)


 
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