Exercice 539

Inéquations avec une suite géométrique-recherche d'un seuil

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- recherche d'un seuil avec une suite géométrique
- résolution d'une inéquation de forme qn > A

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  1. La suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q=2$ et premier terme $u_0=\dfrac{1}{2}$.
    Déterminer la forme explicite de $(u_n)$ puis le plus petit entier naturel $N$ tel que $u_n > 100$ pour tout entier $n\geq N$.
    Il faut résoudre l'équation $\dfrac{1}{2}\times 2^n>100$
    $u_n=u_0\times q^n=\dfrac{1}{2}\times 2^n$.

    $u_n=\dfrac{1}{2} \times 2^n$

    $u_n > 100 \Longleftrightarrow \dfrac{1}{2}\times 2^n>100$
    $\phantom{u_n \geq 100} \Longleftrightarrow 2^n>200$
    $\phantom{u_n \geq 100} \Longleftrightarrow ln\left(2^n\right) >ln(200)$
    $\phantom{u_n \geq 100} \Longleftrightarrow nln\left(2\right) >ln(200)$
    $\phantom{u_n \geq 100} \Longleftrightarrow n >\dfrac{ln(200)}{ln(2)}$
    $\dfrac{ln(200)}{ln(2)}\approx 7,6$ et $n\in \mathbb{N}$ donc $n\geq 8$
    On a donc $N=8$.

    Pour tout entier naturel $n\geq 8$ on a $u_n > 200$

    Remarque
    Contrôle avec la calculatrice: MENU RECUR puis saisir $a_n=0,5\times 2^n$ (voir aussi fiche méthode chapitre 1 calcul des termes d'une suite)
  2. La suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q=\dfrac{1}{2}$ et premier terme $u_0=5$.
    Déterminer la forme explicite de $(u_n)$ puis le plus petit entier naturel $N$ tel que $u_n < 0,1$ pour tout entier $n\geq N$.
    Il faut résoudre l'équation $5\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n>100$


 
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