Exercice 538

Inéquations avec ln

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- recherche de l'ensemble de résolution
- utilisation des propriétés algébriques du logarithme pour résoudre une inéquation

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Résoudre les inéquations suivantes en précisant l'ensemble de résolution.
  1. $ln(4-x)+ln(x+1)>ln(4 )$
    $ln$ est définie sur $]0;+\infty[$ donc il faut $4-x> 0$ et $x+1 >0$
    Il faut se ramener à une inégalité de la forme $ln(A)> ln(B)$ avec $A>0$ et $B>0$
    $ln$ est définie sur $]0;+\infty[$ donc il faut $4-x > 0$ soit $x+1 >0$
    $\begin{cases} 4-x >0\\ x+1>0 \end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases} 4>x \\ x> -1 \end{cases}$
    On résout sur $]-1;4[$.
    $ln(4-x)+ln(x+1)>ln(4 ) \Longleftrightarrow ln((4-x)(x+1))> ln(4)$
    $\phantom{ln(4-x)+ln(x+1)>ln( 4 )} \Longleftrightarrow (4-x)(x+1)>4$
    $\phantom{ln(4-x)+ln(x+1)>ln( 4 )} \Longleftrightarrow -x^2+3x+4 >4$
    $\phantom{ln(4-x)+ln(x+1)>ln( 4 )} \Longleftrightarrow -x^2+3x>0$
    $\phantom{ln(4-x)+ln(x+1)>ln( 4 )} \Longleftrightarrow x(-x+3)>0$
    Les racines de $-x^2+3x$ sont donc $x_1=0$ et $x_2=3$.
    $x\in ]-1;4[$


    $S=]0;3[$
  2. $ln(3x+6)+ln(2)>1$
    $ln$ est définie sur $]0;+\infty[$ donc il faut $3x+6 > 0$
    On a ln(e)=1$


 
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