Exercice 536

Equations avec ln et exp utilisant un changement de variable

Contenu

- changement de variable X=ln(x) ou X=exp(x) pour résoudre une équation

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Résoudre les équations suivantes:
  1. $e^{2x}+e^x-6=0$ (on pourra poser $X=e^x$).
    On peut poser $X=e^x$ et on a alors $X^2=\left(e^x\right)^2=e^{2x}$
    On pose $X=e^x$ et on a alors $X^2=e^{2x}$.
    Il faut donc résoudre l'équation $X^2+X-6=0$.
    Recherche des racines de $X^2+X-6$
    $\Delta=b^2-4ac=1^2-4\times 1 \times (-6)=25$
    $\Delta>0$ donc il y a deux racines
    $X_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1 + 5 }{2 }=2$
    et $X_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1 - 5 }{2 }=-3$
    On a donc $e^x=X_1=2\Longleftrightarrow x=ln(2)$
    ou bien $e^x=X_2=-3$ or $e^x >0$ pour tout réel $x$ donc cette équation n'admet aucune solution.

    $S=\lbrace ln(2) \rbrace$
  2. $e^x-8e^{-x}+2=0$ (on pourra poser $X=e^{x}$)
    Si on pose $X=e^{x}$ on peut factoriser par $e^{-x}$ en utilisant $e^xe^{-x}=e^{x-x}=e^0=1$
  3. $-2ln^2(x)+7ln(x)-6=0$
    On peut poser $X=ln(x)$ avec $x >0$


 
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