Exercice 535

Equations utilisant l'exponentielle

Contenu

- résolution d'équations avec exponentielle
- utilisation du lien entre exponentielle et logarithme

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Résoudre les inéquations suivantes:
  1. $ln(x)-ln(x-2)=ln(8)$
    $ln$ est définie sur $]0;+\infty[$ donc il faut $x >0$ et $x-2 >0$
    et il faut se ramener à une égalité du type $ln(a)=ln(b)$
    La fonction $ln$ est définie sur $]0;+\infty[$
    donc il faut $x >0$ et $x-2 >0$ soit $x >2$
    On résout donc cette équation sur $]2;+\infty[$
    $ln(x)-ln(x-2)=ln(8) \Longleftrightarrow ln(x(x-2))=ln(8)$
    $\phantom{ln(x)-ln(x-2)=ln(8)} \Longleftrightarrow x(x-2)=8$
    $\phantom{ln(x)-ln(x-2)=ln(8)} \Longleftrightarrow x^2-2x-8=0$
    $\Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4\times (-8)=4+32=36$
    $\Delta>0$ donc il y a deux racines
    $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{2 + 6 }{2}=4$
    et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{2 - 6 }{2}=-2$
    $x_1 \in ]2;+\infty[$ et $x_2\notin ]2;+\infty[$

    donc $S=\left\lbrace 4 \right\rbrace$
  2. $ln(e^x+1)=ln(2)$
    $e^x >0$ donc $e^x+1>0$ pour tout réel $x$
  3. $ln(x^2+x)-3ln(x)=1$
    $ln$ est définie sur $]0;+\infty[$ donc il faut $x>0$ et $x^2+x > 0$
    On a $3ln(x)=ln(x^3)$
    Il faut se ramener à une égalité de la forme $ln(a)=ln(b)$


 
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