Exercice 533

Equations avec ln et recherche de l'ensemble de résolution

Contenu

- ensemble de définition avec un logarithme
- résolution d'équations en utilisant les propriétés du logarithme

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Résoudre les inéquations suivantes:
  1. $ln(x)+ln(2)=3$
    $ln$ est définie sur $]0;+\infty[$ et il faut se ramener à une égalité du type $ln(a)=ln(b)$
    La fonction $ln$ est définie sur $]0;+\infty[$
    On résout donc cette équation sur $]0;+\infty[$
    $ln(x)+ln(2)=3 \Longleftrightarrow ln(2x)=ln(e^3)$ (on a $ln(e^3)=3$)
    $\phantom{ln(x)+ln(2)=3} \Longleftrightarrow 2x=e^3$
    $\phantom{ln(x)+ln(2)=3} \Longleftrightarrow x=\dfrac{e^3}{2}$
    On a bien $\dfrac{e^3}{2} \in ]0;+\infty[$

    donc $S=\left\lbrace \dfrac{e^3}{2} \right\rbrace$
  2. $ln(x-2)+ln(3-x)=0$
    $ln$ est définie sur $]0;+\infty[$ donc il faut $x-2 > 0$ et $3-x >0$
    Il faut se ramener à une équation de la forme $ln(a)=ln(b)$ et on a $ln(1)=0$
  3. $2ln(x-1)+ln(3)=0$
    $ln$ est définie sur $]0;+\infty[$ donc il faut $x-1 > 0$
    Il faut se ramener à une égalité de la forme $ln(a)=ln(b)$


 
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