Exercice 5310

Inéquation avec du second degré

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- recherche de l'ensemble de définition avec des polynômes du second degré
- résolution d'une inéquation avec ln

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On considère l'inéquation $ln(2x^2-5x+2)>ln(x^2-5x+4)$.
    1. Déterminer l'ensemble $D$ sur lequel on doit résoudre cette inéquation.
      Il faut $2x^2-5x+2>0$ et $x^2-5x+4>0$
      $ln$ est définie sur $]0;+\infty[$ donc il faut $2x^2-5x+2>0$ et $x^2-5x+4>0$
      - racines et signe de $2x^2-5x+2$
      $\Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4\times 2\times 2=25-16=9$
      $\Delta>0$ donc il y a deux racines
      $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{5 + 3 }{4 }=2$
      et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{5 - 3 }{ 4 }=\dfrac{1}{2}$

      donc $2x^2-5x+2>0$ pour $x\in ]-\infty;\dfrac{1}{2}[\cup]2;+\infty[$
      Pour la suite on note $I=]-\infty;\dfrac{1}{2}[\cup]2;+\infty[$ (en bleu sur le schéma)

      - racines et signe de $x^2-5x+4$
      $1-5+4=0$ donc $x_1=1$ est une racine
      On a alors $x_1x_2=\dfrac{c}{a}$ soit $x_2=\dfrac{4}{1}=4$


      donc $x^2-5x+4>0$ pour $x\in ]-\infty;1[\cup]4;+\infty[$
      Pour la suite on note $J=]-\infty;1[\cup]4;+\infty[$ (en rouge sur le schéma)

      - Conclusion
      On doit donc avoir $x\in I\cap J$ (en vert sur le schéma, zone commune à $I$ et $J$)


      donc $D=]-\infty;\dfrac{1}{2}[\cup ]4;+\infty[$

      Remarque
      Penser à contrôler les racines obtenues avec la calculatrice
    2. Résoudre alors l'inéquation $ln(2x^2-5x+2)>ln(x^2-5x+4)$.
      Il faut résoudre $2x^2-5x+2>x^2-5x+4$ puis prendre les solutions appartenant à $D$


 
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