Exercice 496

Etude d'une fonction- recherche de tangentes passant par l'origine du repère (d'après BAC S 2012 Antilles)

Contenu

- limites en +oo et -oo
- dérivée et variations
- équation réduite d'une tangente
- recherche des tangentes passant par l'origine

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On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = xe^{x - 1} + 1$.
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
Partie A : étude de la fonction
  1. Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$.
    Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ?
    On a $e^{x-1}=\dfrac{e^x}{e}$
    $f(x)=xe^xe^{-1}+1=\dfrac{xe^x}{e}+1$
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}xe^x=0$ donc $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}\dfrac{xe^x}{e}=0$

    donc par somme $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}f(x)=1$

    La courbe $\mathcal{C}$ admet donc la droite d'équation $y=1$ pour asymptote en $-\infty$.
  2. Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}e^x=+\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}x=+\infty$
    donc par produit $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}xe^x=+\infty$
    et donc $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{xe^x}{e}=+\infty$

    donc par somme $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)+\infty$.
  3. On admet que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, et on note $f'$ sa fonction dérivée.
    Montrer que, pour tout réel $x$ : $f'(x) = (x + 1)e^{x - 1}$.
    On pose $u(x)=x$ et $v(x)=e^{x-1}$ et on a $f(x)=u(x)v(x)+1$
  4. Étudier les variations de $f$ sur $\mathbb{R}$ et dresser son tableau de variation.
    On a $e^{x-1}>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $x+1$

Partie B : recherche d'une tangente particulière
Soit $a$ un réel strictement positif. Le but de cette partie est de rechercher s'il existe une tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $a$, qui passe par l'origine du repère.
  1. On appelle T$_{a}$ la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $a$. Donner une équation de T$_{a}$.
    Il faut calculer $f'(a)$ et $f(a)$
  2. Démontrer qu'une tangente à $\mathcal{C}$ en un point d'abscisse $a$ strictement positive passe par l'origine du repère si et seulement si $a$ vérifie l'égalité $1 - a^2e^{a-1} = 0$.
    Une droite d'équation réduite $y=mx+p$ passe par l'origine si $p=0$
  3. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète sera prise en compte dans l'évaluation.
    Démontrer que $1$ est l'unique solution sur l'intervalle $]0;+ \infty[$ de l'équation $1 - x^2e^{x-1} = 0$.
    On peut poser $g(x)=1-x^2e^{x-1}$ et étudier le sens de variation de $g$ sur $]0;+\infty[$
  4. Donner alors une équation de la tangente recherchée.
    Il suffit de remplacer $a$ par 1 dans l'équation réduite obtenue.


 
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