Exercice 495

Etude d'une fonction d'après BAC 2000

Contenu

- recherche des limites d'une fonction
- dérivée et utilisation de la dérivée seconde pour l'étude du signe de f'(x)

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On considère la fonction numérique $f$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2x+1-xe^{x-1}$.
On note $(C_f)$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal.
  1. Étudier la limite de la fonction $f$ en $+\infty$ puis en $-\infty$.
    On pourra écrire $e^{x-1}=\dfrac{e^x}{e}$.
    On peut écrire $e^{x-1}=e^xe^{-1}=\dfrac{e^x}{e}$
    Pour lever l'indétermination en $+\infty$ on peut factoriser $x$.
    Pour tout réel $x$ on a:
    $f(x)=2x+1-xe^{x}e^{-1}$
    $\phantom{f(x)}=2x+1-x\dfrac{e^x}{e}$
    $\phantom{f(x)}=x\left(2+\dfrac{1}{x}-\dfrac{e^x}{e}\right)$
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{-e^x}{e}=-\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{1}{x}=0$
    donc par somme $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}2+\dfrac{1}{x}-\dfrac{e^x}{e}=-\infty$
    et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}x=+\infty$

    donc par produit $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=-\infty$

    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}2x+1=-\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}\dfrac{e^x}{e}=0$

    donc par somme $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}f(x)=-\infty$
  2. Calculer la dérivée $f'$ de $f$.
    On pose $u(x)=x$ et $v(x)=e^{x-1}$
    On pose $u(x)=x$ et $v(x)=e^{x-1}$ et on a $f(x)=2x+1-u(x)v(x)$
    $u$ et $v$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$ et $u'(x)=1$ et $v'(x)=(x-1)'e^{x-1}=e^{x-1}$
    $f'(x)=2-(u'(x)v(x)+u(x)v'(x))$
    $\phantom{f'(x)}=2-(e^{x-1}+xe^{x-1})$
    $\phantom{f'(x)}=2-e^{x-1}-xe^{x-1}$
    $\phantom{f'(x)}=2-e^{x-1}-xe^{x-1}$

    $f'(x)=2-e^{x-1}-xe^{x-1}$
  3. Montrer que $f'(x)=2-\dfrac{e^x}{e}-\dfrac{xe^x}{e}$ et en déduire la limite de $f'(x)$ quand $x\longrightarrow -\infty$.
    $e^{x-1}=e^xe^{-1}=\dfrac{e^x}{e}$
  4. Calculer la dérivée de $f'$ notée $f''$.
    On a $f'(x)=2-e^{x-1}-u(x)v(x)$
  5. En déduire le tableau de variation de $f'(x)$ (on ne demande pas la limite en $+\infty$).
    Il faut étudier le signe de la dérivée de $f'$ soit le signe de $f''(x)$
    $e^{x-1} >0$ donc $f''(x)$ est du signe de $-2-x$
  6. Calculer $f'(1)$ et en déduire le signe de $f'(x)$.
    Dresser alors le tableau de variation de $f$.
    $f'$ est décroissante sur $[-2;+\infty[$ et $f'(1)=0$


 
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