Exercice 492

Etude de fonctions d'après BAC ES 2001

Contenu

- recherche d'une limite
- calcul de la dérivée (exp(u)) et étude des variations
- tracé de la courbe
- résolution graphique d'une équation
- théorème de la valeur intermédiaire

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On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x) = x + 3 + e^{(- x + 2)}$
On notera $(\mathcal{C}_{f})$ la courbe représentation de $f$ dans un repère orthogonal.
  1. Calculer la limite de $f$ en $+\infty$.
    On pose $u(x)=-x+2$ et il faut chercher d'abord la limite de $u(x)$ en $+\infty$
    $f(x)$ est la somme de $x+3$ et de $e^{(-x+2)}$
    On pose $u(x)=-x+2$ et on a $f(x)=x+3e^{u(x)}$
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}u(x)=\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}-x+2=-\infty$
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}e^x=0$
    donc par composition $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}e^{u(x)}=0$
    et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}x+3=+\infty$

    donc par somme $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$
  2. Étudier les variations de la fonction $f$ sur $[0;+\infty[$.
    Il faut dériver $x+3$ et $e^{u(x)}=e^{(-x+2)}$
    Avec $u(x)=-x+2$ on a $u$ dérivable sur $[0;+\infty[$ et donc $e^{u}$ est dérivable sur $[0;+\infty[$
    donc $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ (somme de fonctions dérivables sur $[0;+\infty[$)
    $f'(x)=(x+3)'+u'(x)e^{u(x)}$
    $\phantom{f'(x)}=1+(-1)e^{(-x+2)}$
    $\phantom{f'(x)}=1-e^{(-x+2)}$
    Remarque
    Penser à contrôler le calcul de $f'(x)$ avec le MENU TABLE de la calculatrice en saisissant Y1=$f(x)$ et Y2=$f'(x)$ et en activant l'option DERIVATIVE (CASIO)

    Voir aussi fiche méthode chapitre 3: contrôler une dérivée avec la calculatrice
    Signe de $f'(x)$
    $1-e^{(-x+2)} >0 \Longleftrightarrow 1 > e^{(-x+2)}$
    $\phantom{1-e^{(-x+2)} >0 } \Longleftrightarrow e^0 > e^{(-x+2)}$
    $\phantom{1-e^{(-x+2)} >0 } \Longleftrightarrow 0 >-x+2$
    $\phantom{1-e^{(-x+2)} >0 } \Longleftrightarrow x> 2$
    donc $f'(x) >0$ pour $x >2$ et donc $f$ est croissante sur $]2;+\infty[$.

    $f$ est décroissante sur $[0;2[$ et croissante sur $]2;+\infty[$.
    1. Compléter le tracé de $(\mathcal{C}_{f})$ ci-dessous.
      On peut d'abord placer le minimum de $f$ en $x=2$ et utiliser le MENU TABLE pour placer suffisamment de points afin d'obtenir un tracé précis.
      En $x=2$, la tangente est parallèle à l'axe des abscisses.
    2. En utilisant le graphique, indiquer le nombre de solutions de l'équation E : $f(x) = 8$.
      Donner une valeur approchée de ces solutions avec la précision permise par le graphique.
      On cherche les abscisses des points de la courbe dont l'ordonnée est 8.
  3. Justifier que sur l'intervalle $[2;6]$, l'équation E admet une solution unique $\alpha$, dont on donnera un encadrement d'amplitude $10^{- 2}$.
    On peut utiliser le théorème de la valeur intermédiaire en calculant $f(2)$ et $f(6)$


 
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