Exercice 491

Exercice d'après BAC 2001

Contenu

- recherche des coefficients de f
- recherche d'une limite
- calcul de la dérivée et étude des variations
- théorème de la valeur intermédiaire
- équation d'une tangente

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Sur le graphique ci-dessous la courbe $\mathcal{C}$ représente une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$.
  1. Expression de la fonction
    La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = xe^{mx+ p} $, $m$ et $p$ étant deux constantes.
    1. En utilisant les points $P(1 ; 1)$ et $M\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3e}\right)$ de la courbe $\mathcal{C}$, démontrer que $m$ et $p$ vérifient :
      $\left\{\begin{array}{l c l} m+p&=&0\\ m + 3p &=& -3\\ \end{array}\right.$.
      si $P(1;1) \in \mathcal{C}$ alors $f(1)=1$
      $P(1;1) \in \mathcal{C}$ donc $f(1)=1e^{m+p}=1=e^0$ soit $m+p=0$
      $M\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3e}\right)\in \mathcal{C}$ donc $f\left(\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{1}{3}e^{\frac{m}{3}+p}=\dfrac{1}{3e}$
      $\dfrac{1}{3}e^{\frac{m}{3}+p}=\dfrac{1}{3e}\Longleftrightarrow e^{\frac{m}{3}+p}=\dfrac{1}{e}$
      $\phantom{\dfrac{1}{3}e^{\frac{m}{3}+p}=\dfrac{1}{3e}}\Longleftrightarrow e^{\frac{m}{3}+p}=e^{-1}$
      $\phantom{\dfrac{1}{3}e^{\frac{m}{3}+p}=\dfrac{1}{3e}}\Longleftrightarrow \dfrac{m}{3}+p=-1$
      $\phantom{\dfrac{1}{3}e^{\frac{m}{3}+p}=\dfrac{1}{3e}}\Longleftrightarrow m+3p=-3$

      donc $ \begin{cases} m+p=0\\ m+3p=-3 \end{cases}$
    2. En déduire que $f(x) = xe^{\frac{3}{2} (x-1)}$.
      On peut résoudre par substitution en écrivant $p=-m$
      $ \begin{cases} m+p=0\\ m+3p=-3 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} p=-m\\ m-3m=-3 \end{cases} $
      $ \phantom{\begin{cases} m+p=0\\ m+3p=-3 \end{cases}} \Longleftrightarrow \begin{cases} p=-m\\ -2m=-3 \end{cases} $
      $ \phantom{\begin{cases} m+p=0\\ m+3p=-3 \end{cases}} \Longleftrightarrow \begin{cases} p=-\dfrac{3}{2}\\ m=\dfrac{3}{2} \end{cases} $
      donc $f(x)=xe^{\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}}=xe^{\frac{3}{2}(x-1)}$

      $f(x)=xe^{\frac{3}{2}(x-1)}$
  2. Tableau de variations de $f$
    1. Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$.
      On pose $w(x)=\dfrac{3}{2}(x-1)$ et on cherche la limite de $w(x)$ en $+\infty$
      $f(x)$ est le produit de $u(x)$ et de $e^{w(x)}$
    2. Pour la suite, on admet que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = 0$.
    3. Vérifier que $f'(x) = \left(\dfrac{3}{2} x + 1\right)e^{\frac{3}{2}(x-1)}$.
      On pose $u(x)=x$ et $v(x)=e^{\frac{3}{2}(x-1)}$ et $f(x)=u(x)v(x)$
    4. Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\mathbb{R}$ et dresser le tableau de variations de $f$.
      On a $e^{\frac{3}{2}(x-1)}>0$
  3. Point de $\mathcal{C}$ où la tangente est parallèle à la droite (OP)
    1. On admet que $f'$ est strictement croissante sur l'intervalle $[0 ; 1]$.
      Calculer $f'(0)$ et $f'(1)$.
      Démontrer que, dans l'intervalle $[0 ; 1]$, l'équation $f'(x)= 1$ a une solution unique $t$.
      Donner un encadrement de $t$ d'amplitude $10^{-2}$.
      On utilise le théorème de la valeur intermédiaire pour justifier l'unicité de la solution.
      On encadre $t$ avec le MENU TABLE de la calculatrice par exemple.
    2. Justifier que $t$ est l'abscisse du point T de la courbe $\mathcal{C}$, situé entre O et P où la tangente est parallèle à la droite (OP).
      Le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse $x$ est $f'(x)$.
      Deux droites sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur.


 
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