Exercice 461

Unicité de la fonction exponentielle

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- démonstration BAC pour justifier l'unicité de la fonction définie et dérivable sur IR vérifiant f'(x)=f(x) et f(0)=1

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On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ vérifiant $f'(x)=f(x)$ et $f(0)=1$.
On suppose qu'une telle fonction existe et que $f(x)\neq 0$.
On veut montrer que la fonction $f$ est unique.
  1. On suppose qu'il existe une autre fonction $g$ distincte de $f$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $g'(x)=g(x)$ et $g(0)=1$.
    On pose $\varphi(x)=\dfrac{g(x)}{f(x)}$.
    Justifier que $\varphi$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et calculer la dérivée de $\varphi$.
    $f$ et $g$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$ et $f(x)\neq 0$
    donc le quotient $\varphi =\dfrac{g}{f}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
    $\varphi'(x)=\dfrac{g'(x)f(x)-g(x)f'(x)}{(f(x))^2}$
    $\phantom{\varphi'(x)}=\dfrac{g(x)f(x)-g(x)f(x)}{(f(x))^2}$
    $\phantom{\varphi'(x)}=0$

    $\varphi'(x)=0$
  2. En déduire les variations de $\varphi$
    La dérivée d'une fonction constante est nulle
  3. Calculer $\varphi(0)$ et en déduire que $f(x)=g(x)$ pour tout réel $x$ puis conclure.
    On a $f(0)=g(0)=1$


 
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