Exercice 459

Etude d'une fonction exponentielle

Contenu

- calcul de la dérivée d'un produit avec exponentielle
- lecture graphique du nombre dérivé (tangente)
- calcul des coefficients de la fonction
- recherche des limites
- tableau de variation
- équation réduite d'une tangente et tracé

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La fonction $f$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=a+(x+b)e^{-x}$ avec $a$ et $b$ coefficients réels.
On donne ci-dessous la représentation graphique $C_f$ de la fonction $f$.

Les questions 1 et 2 sont disponible en vidéo.
  1. Exprimer $f'(x)$ en fonction de $a$ et $b$.
    On pose $u(x)=x+b$ et $v(x)=e^{-x}$
    On pose $u(x)=x+b$ et $v(x)=e^{-x}$
    $u'(x)=1$ et $v'(x)=(-x)'e^{-x}=-e^{-x}$
    $f'(x)=0+u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$
    $\phantom{f'(x)}=e^{-x}+(x+b)\left(-e^{-x}\right)$
    $\phantom{f'(x)}=e^{-x}\left[1-(x+b)\right]$
    $\phantom{f'(x)}=e^{-x}\left[-x-b+1\right]$

    $f'(x)=(-x-b+1)e^{-x}$
  2. En utilisant le graphique, déterminer $f'(0)$ et en déduire $a$ et $b$.
    Il faut déterminer le coefficient directeur de la tangente $T$
    Pour déterminer $a$ et $b$, il faut écrire deux équations en utilisant les valeurs de $f(0)$ et $f'(0)$
    $T$ est la tangente à la courbe au point $A$
    Graphiquement, $f'(0)$ est le coefficient directeur de la tangente $T$ à la courbe $C_f$ au point $A$ d'abscisse 0

    donc $f'(0)=4$


    $C_f$ coupe l'axe des ordonnées en $A(0;1)$ donc $f(0)=1$
    $f(0)=a+(0+b)e^{-0}=a+b$ et $f'(0)=(-0-b+1)e^{-0}=-b+1$
    $\begin{cases} f(0)=1\\ f'(0)=4 \end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases} a+b=1\\ -b+1=4 \end{cases}$
    $\phantom{\begin{cases} f(0)=1\\ f'(0)=4 \end{cases}}\Longleftrightarrow \begin{cases} a+b=1\\ -b=3 \end{cases}$
    $\phantom{\begin{cases} f(0)=1\\ f'(0)=4 \end{cases}}\Longleftrightarrow \begin{cases} a=4\\ b=-3 \end{cases}$

    donc $f(x)=4+(x-3)e^{-x}$
  3. Déterminer les limites de la fonctions $f$ en $+\infty$ et $-\infty$ et en donner une interprétation graphique si cela est possible.
    On a $e^{-x}=\dfrac{1}{e^x}$ et on peut écrire $f(x)=4+\dfrac{x}{e^x}-\dfrac{3}{e^x}$
  4. Dresser le tableau de variation de la fonction $f$.
    Il faut étudier le signe de $f'(x)$
  5. Déterminer l'équation réduite de la tangente $T_1$ au point de la courbe $C_f$ d'abscisse 2 et la tracer.
    Il faut calculer $f(2)$ puis $f'(2)$


 
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