Exercice 457

Etude d'une fonction avec exponentielle (d'après BAC S 2010)

Contenu

- limite d'une fonction composée avec exponentielle
- dérivée d'un produit avec exponentielle et de exp(u)
- étude des variations
- équation réduite d'une tangente
- tracé de la courbe et d'une tangente

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PARTIE A
On note $f$ la fonction définie et dérivable sur l'intervalle $]0;+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{1}{x^2}e^{\frac{1}{x}}$.
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal.
  1. Étude des limites
    1. Déterminer la limite de la fonction $f$ quand $x$ tend vers $0$.
      Il faut chercher la limite de $\dfrac{1}{x}$ puis de $e^{\frac{1}{x}}$ par composition.
      $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+}\dfrac{1}{x}=+\infty$
      et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} e^x=+\infty$
      donc par composition $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+}e^{\frac{1}{x}}=+\infty$
      et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+}\dfrac{1}{x^2}=+\infty$

      et par produit $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+}f(x)=+\infty$
    2. Déterminer la limite de la fonction $f$ quand $x$ tend vers $+\infty$.
      Il faut chercher la limite de $\dfrac{1}{x}$ puis de $e^{\frac{1}{x}}$ par composition.
      $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{1}{x}=0$
      et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} e^x=e^0=1$
      donc par composition $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}e^{\frac{1}{x}}=1$
      et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{1}{x^2}=0$

      et par produit $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=0$
    3. Préciser les asymptotes à la courbe $\mathcal{C}$.
  2. Étude des variations de la fonction $f$
    1. Démontrer que, la fonction dérivée de la fonction $f$ s'exprime, pour tout réel $x$ strictement positif, par $f'(x) = - \dfrac{1}{x^4}e^{\frac{1}{x}}(2x + 1)$.
      On pose $u(x)=\dfrac{1}{x^2}$ et $v(x)=e^{\frac{1}{x}}$ et on a $f(x)=u(x)v(x)$
    2. Déterminer le signe de $f'$ et en déduire le tableau de variation de $f$ sur l'intervalle $]0;+\infty[$.
      On a $e^{\frac{1}{x}}>0$ et $x^4>0$
  3. Déterminer l'équation réduite de la tangente $T$ à la courbe au point $A$ d'abscisse 1.
    Il faut calculer $f(1)$ et $f'(1)$
  4. Tracer $\mathcal{C}$, $T$ et les asymptotes à la courbe dans le repère ci-dessous.
    Il faut dresser un tableau de valeurs avec le MENU TABLE de la calculatrice


 
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