Exercice 456

Etude d'une fonction (limites et variations) d'après BAC 2010

Contenu

- limites et asymtotes à la courbe
- calcul de la dérivée et étude des variations

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La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \dfrac{4}{1 + 7e^{-x}}$ et on note $\mathcal{C}$ sa représentation graphique dans un repère orthogonal.
  1. Démontrer que la courbe $\mathcal{C}$ admet deux asymptotes dont on précisera les équations.
    On peut écrire $1+7e^{-x}=1+\dfrac{7}{e^x}$
    $f(x)=\dfrac{4}{1+\dfrac{7}{e^x}}$
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}e^x=+\infty$ donc $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{7}{e^x}=0$
    et par somme $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}1+\dfrac{7}{e^x}=1$
    \res {donc par quotient $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=4$
    donc $\mathcal{C}$ admet une asymptote d'équation $y=4$ en $+\infty$.
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}e^x=0^+$ donc $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}\dfrac{7}{e^x}=+\infty$
    et par somme $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}1+\dfrac{7}{e^x}=+\infty$
    \res {donc par quotient $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}f(x)=0$
    donc $\mathcal{C}$ admet une asymptote d'équation $y=0$ en $-\infty$.
  2. Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
    On pose $v(x)=1+7e^{-x}$ et on a $f(x)=\dfrac{4}{v(x)}$


 
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