Exercice 455

Déterminer la fonction et étude des variations (d'après BAC 2004)

Contenu

- calcul d'une dérivée
- identification des coefficients a et b de f
- calcul de la dérivée (dérivée d'un produit) et étude des variations

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  1. On considère la fonction $f$ définie sur $[0 ;20]$ par $f(x) = (ax + b)e^{-\frac{x}{3}} + 3$ où $a$ et $b$ sont deux réels que l'on se propose de déterminer.
    On sait que $f$ admet un maximum au point d'abscisse 4 et que le point $A(0 ;2)$ appartient à la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.
    1. Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$.
      Exprimer $f'(x)$ pour $x$ en fonction de $a$ et $b$.
      On pose $u(x)=ax+b)$ et $v(x)=e^{-\frac{x}{3}}$ et on a $f(x)=u(x)v(x)+3$
      On pose $u(x)=ax+b)$ et $v(x)=e^{-\frac{x}{3}}$ et on a $f(x)=u(x)v(x)+3$
      $u$ et $v$ sont dérivables sur $[0 ;20]$ donc $f$ est dérivable sur $[0 ;20]$.
      $u'(x)=a$ et $v'(x)=\left(-\dfrac{x}{3}\right)'e^{-\frac{x}{3}}=\dfrac{-1}{3}e^{-\frac{x}{3}}$
      $f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)+0$
      $\phantom{f'(x)}=ae^{-\frac{x}{3}}+(ax+b)\left(\dfrac{-1}{3}e^{-\frac{x}{3}}\right)$
      $\phantom{f'(x)}=e^{-\frac{x}{3}}\left(a+(ax+b)\dfrac{-1}{3}\right)$
      $\phantom{f'(x)}=e^{-\frac{x}{3}}\left(\dfrac{-ax}{3}+a-\dfrac{b}{3}\right)$
      $\phantom{f'(x)}=e^{-\frac{x}{3}}\left(\dfrac{-ax}{3}+a-\dfrac{b}{3}\right)$


      $f'(x)=e^{-\frac{x}{3}}\left(\dfrac{-ax}{3}+a-\dfrac{b}{3}\right)$

      Remarque
      On peut aussi écrire $f'(x)=e^{-\frac{x}{3}}\left(\dfrac{-ax+3a-b}{3}\right)=\dfrac{e^{-\frac{x}{3}}}{3}(-ax+3a-b)$
    2. Montrer que $a = 1$ et $b = -1$.
      $f$ admet un maximum au point d'abscisse 4 donc on a $f'(4)=0$
      et que le point $A(0 ;2)$ appartient à la courbe $\mathcal{C}$ donc $f(0)=2$
  2. Etude de la fonction $f$ définie sur $[0 ;20]$ par $f(x) = (x-1)e^{-\frac{x}{3}} + 3$.
    Etudier le sens de variation de $f$ .
    On a $e^{\frac{-x}{3}}>0$


 
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