Exercice 452

Etude d'une fonction avec exp

Contenu

- recherche des limites en +oo et -oo
- calcul de la dérivée (dérivée d'un produit) et étude des variations
- équation d'une tangente
- tracé de la courbe et de la tangente en un point

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La fonction $f$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=xe^{-x}$ et on note $C_f$ sa représentation graphique dans un repère orthonormé.
  1. Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$.
    Il y a indétermination en $+\infty$ et on a $e^{-x}=\dfrac{1}{e^x}$
    Pour tout réel $x$, on a $f(x)=x\times \dfrac{1}{e^x}=\dfrac{x}{e^x}$
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{e^x}{x}=+\infty$

    donc (passage à l'inverse) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=0$.

    La courbe admet donc une asymptote d'équation $y=0$ (axe des abscisses) en $+\infty$.

    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}x=-\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}e^x=0^+$ (car $e^x>0$)

    donc par produit $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}f(x)=-\infty$
  2. Justifier que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et calculer $f'(x)$.
    On peut poser $u(x)=x$ et $v(x)=e^{-x}$
    On pose $u(x)=x$ et $v(x)=e^{-x}$.
    $u$ et $v$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$ donc le produit $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
    $u'(x)=1$ et $v'(x)=(-x)'e^{-x}=-e^{-x}$
    $f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=1e^{-x}+x\times (-e^{-x})=e^{-x}(1-x)$

    $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=e^{-x}(1-x)$
  3. En déduire le tableau de variation de $f$.
    On a $e^{-x}>0$ donc il faut étudier le signe de $1-x$.
  4. Déterminer l'équation réduite de la tangente $T$ à la courbe $C_f$ au point $A$ d'abscisse $2$.
    Il faut calculer $f'(2)$ et $f(2)$
  5. Compléter le tracé de $C_f$ et tracer $T$ dans le repère ci-dessous.
    Dresser un tableau de valeurs de $f$ avec le MENU TABLE de la calculatrice
    La fonction admet un maximum en $x=1$ et la courbe admet l'axe dez abscisses pour asymptote en $+\infty$


 
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