Exercice 446

Croissance comparée de exp(x) et xn

Contenu

- changement de variable avec t=x/n
- croissance comparée de ex et de xn
- application à la recherche d'une limite

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  1. Montrer que pour tout réel $x>0$, il existe un réel $t$ tel que $x=nt$ avec $n\in \mathbb{N}^*$.
    Déterminer $t$
    $n$ est un entier naturel non nul et on veut résoudre l'équation $x=nt$ d'inconnue $t$.
    $x=nt \Longleftrightarrow t=\dfrac{x}{n}$ puisque $n >0$.
    donc pour tout réel $x>0$ il existe un réel $t$ tel que $x=nt$
  2. Montrer que pour tout réel $x>0$ on a alors $\dfrac{e^x}{x^n}=\dfrac{1}{n^n}\left(\dfrac{e^t}{t}\right)^n$
    On remplace $x$ par $nt$
  3. En déduire la limite $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{e^x}{x^n}$
    on peut chercher la limite de $t$ quand $x\longrightarrow +\infty$ puis de $\dfrac{e^{t}}{t}$
  4. En déduire $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{e^x+2}{x^4}$
    On peut écrire $\dfrac{e^x+2}{x^4}=\dfrac{e^x}{x^4}+\dfrac{1}{x^4}$ et utiliser la question précédente avec $n=4$


 
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