Exercice 435

Calculs de dérivées avec exp(u)

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- dérivée de exp(u)
- dérivée avec les fonctions composées

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$f$ est définie sur $D$.
Justifier que $f$ est dérivable sur $D$ puis calculer $f'(x)$.
  1. $f(x)=e^{cos(x)}$ avec $D=\mathbb{R}$
    on pose $u(x)=cos(x)$ et on a $f(x)=e^{u(x)}$
    On pose $u(x)=cos(x)$ et on a $f(x)=e^{u(x)}$
    $u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ (et exp dérivable sur $\mathbb{R}$) donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
    $u'(x)=-sin(x)$
    $f'(x)=u'(x)e^{u(x)}=-sin(x)e^{cos(x)}$

    $f'(x)=-sin(x)e^{cos(x)}$
  2. $f(x)=e^{\sqrt{x^2+1}}$ avec $D=\mathbb{R}$
    on pose $u(x)=\sqrt{x^2+1}$
  3. $f(x)=e^{\frac{1}{x-1}}$ avec $D=]1;+\infty[$
    On pose $u(x)=\dfrac{1}{x-1}$


 
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