Exercice 427

Equation avec exponentielle en utilisant un changement de variable

Contenu

- utiliser un changement de variable ex=X
- équation du second degré
- équation ex=K

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Résoudre dans $\mathbb{R}$:
  1. $ e^{2x}-3e^x+2=0$
    On pose $e^x=X$ et on a $e^{2x }=\left(e^{x}\right)^2=X^2$ pour se ramener à une équation du second degré d'inconnue $X$
    On pose $e^x=X$ et on a $X^2=\left(e^{x}\right)^2=e^{2x }$
    Il faut alors résoudre $X^2-3X+2=0$
    On a $1-3+2=0$ donc $X_1=1$ est une solution de $X^2-3X+2=0$
    Le produit des deux racines $X_1$ et $X_2$ du polynôme $X^2-3X+2$
    est $X_1X_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{2}{1}=2$ donc $X_2=2$ ne pas confondre $X$ et $x$
    Il faut alors résoudre les équations $e^x=X_1=1$ puis $e^x=X_2=2$
    $e^x=1 \Longleftrightarrow x=0$ (on a $x=ln(1)=0$ et $e^0=1$)
    $e^x=2 \Longleftrightarrow x=ln(2)$ (on a $e^{ln(2)}=2$)

    $S=\lbrace 0;ln(2)\rbrace$

    Remarque
    Penser à contrôler les solutions obtenues pour $X$ (MENU EQUA puis POLY degré 2)
    Penser aussi à contrôler les solutions finales avec le MENU TABLE de la calculatrice en saisissant l'expression $e^{2x}-3e^x+2$ puis $x=0$ et ensuite $x=ln(2)$
  2. $e^x+2-e^{-x}=0$
    On peut multiplier les deux membres par $e^x$ pour se ramener à une équatrion semblable à celle de la question 1


 
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