Exercice 422

Justifier une égalité avec des exponentielles

Contenu

- montrer que deux expressions sont égales
- utilisation des propriétés

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Montrer les égalités suivantes avec $x$ réel quelconque.
  1. $\dfrac{e^x-1}{e^x+1}=\dfrac{1-e^{-x}}{1+e^{-x}}$
    On peut écrire $e^{2x}=e^xe^x$
    $\dfrac{e^x-1}{e^x+1}=\dfrac{e^x\left(1-\dfrac{1}{e^x}\right)}{e^x\left(1+\dfrac{1}{e^x}\right)}$
    $\phantom{\dfrac{e^x-1}{e^x+1}}=\dfrac{e^x\left(1-e^{-x}\right)}{e^x\left(1+e^{-x}\right)}$ (rappel $e^{-x}=\dfrac{1}{e^x}$)
    $\phantom{\dfrac{e^x-1}{e^x+1}}=\dfrac{1-e^{-x}}{1+e^{-x}}$

    $\dfrac{e^x-1}{e^x+1}=\dfrac{1-e^{-x}}{1+e^{-x}}$
  2. $e^{2x}-e^x-1=e^x\left(e^x-1-e^{-x}\right)$
    Il est plus facile de développer que de factoriser
  3. $e^{4x}+6e^{2x}+9=\left(e^{2x}+3\right)^2$
    $\left(e^{2x}\right)^2=e^{4x}$


 
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