Exercice 258

Limites avec sin(x) et racine carrée

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- limite avec sin(x) et le théorème des gendarmes
- limites avec des racines carrées et levée de l'indétermination avec l'expression conuguée

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  1. Déterminer $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{sin(x)+1}{x^2}$
    Il faut encadrer $\dfrac{sin(x)+1}{x^2}$
    Pour tout réel $x$, on a $-1\leq sin(x) \leq 1$ donc $0\leq sin(x)+1\leq 2$
    donc pour tout réel $x >0$, on a $0\leq \dfrac{sin((x)+1}{x^2}\leq \dfrac{2}{x^2}$
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{2}{x^2}=0$

    donc par comparaison (théorème des gendarmes) on a $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{sin(x)+1}{x^2}=0$
  2. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \sqrt{2x+3}-\sqrt{2x-3}$
    On pourra utiliser l'expression conjuguée de $\sqrt{2x+3}-\sqrt{2x-3}$
    Pour lever l'indétermination, on peut multiplier par l'expression conjuguée de $\sqrt{2x+3}-\sqrt{2x-3}$ au numérateur et au dénominateur


 
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