Exercice 257

Limites par encadrement

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- limites d'une fonction comprise entre deux fonctions affines
- encadrement d'une fonction avec un cosinus et recherche des limites en l'infini

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La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ et pour tout réel $x $ on a $2x-1 \leq f(x) \leq 2x+1$
  1. Déterminer $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)$ et déterminer $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}f(x)$
    On cherche d'abord les limites de $2x-1$ et $2x+1$
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}2x-1=+\infty$
    et pour tout réel $x$ on a $f(x)\geq 2x-1$

    donc par comparaison $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$

    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}2x+1=-\infty$
    et pour tout réel $x$ on a $f(x)\leq 2x+1$

    donc par comparaison $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}f(x)=-\infty$
  2. La fonction $g$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=2x+cos(x)$.
    Montrer que pour tout réel $x$ on a $2x-1 \leq g(x)\leq 2x+1$ et en déduire les limites de $g$ en $+\infty$ et $-\infty$.
    Rappel: $-1 \leq cos(x) \leq 1$
  3. Représenter graphiquement la fonction $g$ et les droites d'équations $y=2x-1$ et $y=2x+1$ sur la calculatrice ou avec un logiciel.
    On peut utiliser le MENU TABLE de la calculatrice en siasissant $f(x)$ dans Y1, et les équations des deux droites dans Y2 et Y3.


 
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