Exercice 256

Limites par comparaison

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- recherche d'une limite par comparaison ou encadrement

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La fonction $f$ est définie sur $]0;+\infty[$ et pour tout réel $x> 1$ , on a $\dfrac{1}{x^2} < f(x) < \dfrac{1}{x}$ et que pour tout réel $x \in ]0;1[$, on a $\dfrac{1}{x} < f(x) < \dfrac{1}{x^2}$.
  1. Déterminer $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)$
    On cherche d'abord $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{1}{x}$ puis $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{1}{x+1}$
    Pour tout réel $x > 0$, on pose $u(x)=\dfrac{1}{x^2}$ et $v(x)=\dfrac{1}{x}$
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}u(x)=\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{1}{x^2}=0$
    et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}v(x)=\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{1}{x}=0$
    et pour tout réel $x > 1$, on a $u(x) < f(x) < v(x)$

    donc par encadrement $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=0$
  2. Déterminer la limite de $f$ en 0.
    on peut chercher $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+} \dfrac{1}{x}$


 
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