Exercice 255

Composée de deux fonctions et recherche des limites

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- expression de la composée de deux fonctions
- recherche des limites d'une fonction rationnelle
- recherche des limites de la composée gof

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On donne la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus \lbrace 3\rbrace$ par $f(x)=\dfrac{x^2+2}{6-2x}$ et la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=3x^3$.
  1. Donner l'ensemble de définition de $gof$ et exprimer $gof(x)$ en fonction de $x$.
    On applique d'abord la fonction $f$ puis on calcule $g(f(x))$.
    Schématiquement, on a:


    $f$ est définie sur $\mathbb{R}\setminus \lbrace 3\rbrace$ et on a $f(x)\in \mathbb{R}$ et $g$ est définie sur $\mathbb{R}$
    donc $gof$ est définie sur $\mathbb{R}\setminus \lbrace 3\rbrace$.
    Pour tout réel $x \in \mathbb{R}\setminus \lbrace 3\rbrace$, on a:
    $gof(x)=g(f(x))=g\left(\dfrac{x^2+2}{6-2x}\right)=3\left(\dfrac{x^2+2}{6-2x}\right)^3$

    donc $gof$ est définie sur $\mathbb{R}\setminus \lbrace 3\rbrace$ et $gof(x)=3\left(\dfrac{x^2+2}{6-2x}\right)^3$.
  2. Déterminer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
    Il faut chercher les limites de $f$ en $+\infty$, $-\infty$, $3^+$ et $3^-$
    Pour déterminer les limites en l'infini, il faut lever l'indétermination en factorisant les termes de plus haut degré
    Pour les limites en 3, il faut chercher les limites en $3^-$ et $3^+$ en utilisant les limites d'un quotient.
  3. En déduire les limites de $gof$ aux bornes de son ensemble de définition.
    On cherche les limites de $g$ en utilisant les résultats de la question précédente.


 
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