Exercice 253
Composée avec la fonction racine carrée
Déterminer les limites ci-dessous:
- $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\sqrt{\dfrac{x-1}{x-2}}$
Limite de la composée de deux fonctions
$a$, $b$ et $c$ désignent des réels ou bien $+\infty$ ou $-\infty$.
Si $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a} u(x)=b$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow b} v(x)=c$
alors $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a} vou(x)=c$
Schématiquement, on a:
On cherche d'abord $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{x-1}{x-2}$
Pour éviter les confusions entre les variables, on peut poser $X=\dfrac{x-1}{x-2}$ (voir fiche méthode limite de la composée)On pose $X=\dfrac{x-1}{x-2}$ ($x\neq 2$).
On alors:
Rédaction
Pour tout réel $x\neq 0$ (et $x\neq 2$), on a:
$\dfrac{x-1}{x-2}=\dfrac{x\left(1-\dfrac{1}{x}\right)}{x\left(1-\dfrac{2}{x}\right)}=\dfrac{1-\dfrac{1}{x}}{1-\dfrac{2}{x}}$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}1-\dfrac{1}{x}=1$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}1-\dfrac{2}{x}=1$
donc par quotient $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{x-1}{x-2}=\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{1-\dfrac{1}{x}}{1-\dfrac{2}{x}}=1$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}\sqrt{x}=1$
donc par composition on a $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}\sqrt{\dfrac{x-1}{x-2}}=1$ - $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^+}\sqrt{\dfrac{x-1}{x-2}}$
On cherche d'abord $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^+}\dfrac{x-1}{x-2}$ en cherchant la limite du numérateur et du dénominateur
Pour éviter les confusions entre les variables, on peut poser $X=\dfrac{x-1}{x-2}$ (voir fiche méthode limite de la composée)Aide en ligne (explications, conseils de révisions...)