Exercice 253

Composée avec la fonction racine carrée

Contenu

- limites d'une fonction composée
- composition de la fonction racine carrée et d'une fonction homographique

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Déterminer les limites ci-dessous:
  1. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\sqrt{\dfrac{x-1}{x-2}}$
    On cherche d'abord $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{x-1}{x-2}$
    Pour éviter les confusions entre les variables, on peut poser $X=\dfrac{x-1}{x-2}$ (voir fiche méthode limite de la composée)
    On pose $X=\dfrac{x-1}{x-2}$ ($x\neq 2$).
    On alors:


    Rédaction
    Pour tout réel $x\neq 0$ (et $x\neq 2$), on a:
    $\dfrac{x-1}{x-2}=\dfrac{x\left(1-\dfrac{1}{x}\right)}{x\left(1-\dfrac{2}{x}\right)}=\dfrac{1-\dfrac{1}{x}}{1-\dfrac{2}{x}}$
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}1-\dfrac{1}{x}=1$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}1-\dfrac{2}{x}=1$
    donc par quotient $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{x-1}{x-2}=\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{1-\dfrac{1}{x}}{1-\dfrac{2}{x}}=1$
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}\sqrt{x}=1$

    donc par composition on a $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}\sqrt{\dfrac{x-1}{x-2}}=1$
  2. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^+}\sqrt{\dfrac{x-1}{x-2}}$
    On cherche d'abord $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^+}\dfrac{x-1}{x-2}$ en cherchant la limite du numérateur et du dénominateur
    Pour éviter les confusions entre les variables, on peut poser $X=\dfrac{x-1}{x-2}$ (voir fiche méthode limite de la composée)


 
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