Exercice 252

Limite de la composée avec une fonction affine

Contenu

- composition d'une fonction affine avec la fonction x4
- ensemble de définition et expression de la fonction composée
- limite de la fonction composée

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On considère les fonctions $u$ et $v$ définies sur $\mathbb{R}$ par $u(x)=x-3$ et $v(x)=2x^4$.
  1. La fonction $f$ est la composée de $u$ et $v$ soit $f=vou$.
    Justifier que $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ puis exprimer $f(x)$ en fonction de $x$.
    On a $f(x)=v(u(x))$
    $f(x)=vou(x)=v(u(x))$
    $u$ est définie sur $\mathbb{R}$ et $u(x)\in \mathbb{R}$
    $v$ est définie sur $\mathbb{R}$ donc $f=vou$ est définie sur $\mathbb{R}$.
    Schématiquement, on a:


    $f(x)=v(u(x))=v(x-3)=2(x-3)^4$

    donc $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ et $f(x)=2(x-3)^4$
  2. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)$
    On cherche d'abord $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}u(x)$
    Pour éviter les confusions entre les variables, on peut poser $X=u(x)$ (voir fiche méthode limite de la composée)
  3. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}f(x)$
    On cherche d'abord $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}u(x)$


 
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