Exercice 247

Limite d'une fonction rationnelle en l'infini

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- limite d'une fonction rationnelle (quotient de deux polynômes) en plus l'infini et moins l'infini
- lever l'indétermination en factorisant les termes de plus haut degré

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Dans chaque cas, déterminer la limite en $+\infty$ et $-\infty$.
  1. $f(x)=\dfrac{x^2-2}{x-2}$ définie sur $\mathbb{R}\setminus\lbrace 2 \rbrace$.
    En $-\infty$ et $+\infty$, il y a un cas d'indétermination donc il faut factoriser par le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur soit $x^2$ au numérateur et $x$ au dénominateur.
    $f(x)=\dfrac{x^2\left(1-\dfrac{2}{x^2}\right)}{x\left(1-\dfrac{2}{x}\right)}$ (termes de plus haut degré en facteur)
    $\phantom{f(x)}=\dfrac{x \left(1-\dfrac{2}{x^2}\right)}{1-\dfrac{2}{x}}$
    Limite en $-\infty$
    Par somme, $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}1-\dfrac{2}{x^2}=1$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}x=-\infty$
    donc par produit $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}x\left(1-\dfrac{2}{x^2}\right)=-\infty$
    et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}1-\dfrac{2}{x}=1$

    et par quotient $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}f(x)=-\infty$


    Limite en $+\infty$
    Par somme, $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}1-\dfrac{2}{x^2}=1$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}x=+\infty$
    donc par produit $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}x\left(1-\dfrac{2}{x^2}\right)=+\infty$
    et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}1-\dfrac{2}{x}=1$

    et par quotient $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$
  2. $f(x)=\dfrac{x^2-2}{x^3+3x+6}$ définie sur $\mathbb{R}$.
    En $-\infty$ et $+\infty$, il y a un cas d'indétermination (quotient de deux limites infinies) donc il faut factoriser par le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur soit $x^2$ au numérateur et $x$ au dénominateur.


 
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