Exercice 246

Limite d'une fonction polynôme en l'infini

Contenu

- limite d'une fonction polynôme en plus l'infini et moins l'infini
- lever l'indétermination en factorisant le terme de plus haut degré

Infos sur l'exercice

liens/options

  • afficher seulement énoncé
  • Afficher le PDF
  • télécharger le PDF
  • ex semblables
  • Documents associés
  • questions
Dans chaque cas, déterminer la limite en $+\infty$ et $-\infty$.
  1. $f(x)=2x^3-3x^2+2$ définie sur $\mathbb{R}$.
    En $-\infty$, il faut déterminer $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}2x^3$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow-\infty}-3x^2$
    En $+\infty$, il y a un cas d'indétermination donc il faut factoriser par le terme de plus haut degré soit $x^3$.
    Limite en $-\infty$
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}2x^3=-\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}-3x^2=-\infty$

    donc par somme $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}f(x)=-\infty$


    Limite en $+\infty$
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}2x^3=+\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}-3x^2=-\infty$
    donc la limite de la somme est indéterminée.
    Pour tout réel $x>0$ (on peut supposer $x\neq 0$ puisqu'on cherche la limite quand $x \longrightarrow +\infty$), on a:
    $f(x)=2x^3-3x^2+2=x^3\left(2-\dfrac{3}{x}+\dfrac{2}{x^3}\right)$ (terme de plus haut degré en facteur)
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}-\dfrac{3}{x}=0$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{2}{x^3}=0$
    donc par somme $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} 2-\dfrac{3}{x}+\dfrac{2}{x^3}=2$
    et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}x^3=+\infty$

    donc par produit $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$
  2. $f(x)=-5x^4+3x^2-1$ définie sur $\mathbb{R}$.
    En $-\infty$ et en $+\infty$, il y a indétermination donc il faut factoriser par le terme de plus haut degré soit $x^4$.


 
Haut de page