Exercice 245

Limite d'une fonction polynôme en l'infini

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- limite d'une fonction polynôme en plus et moins l'infini
- levée de l'indétermination en factorisant le terme de plus haut degré

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Dans chaque cas, déterminer la limite en $+\infty$ et $-\infty$.
  1. $f(x)=x^2+3x-1$ définie sur $\mathbb{R}$.
    En $+\infty$, il faut déterminer $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}x^2$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}3x-1$
    En $-\infty$, il y a un cas d'indétermination donc il faut factoriser par le terme de plus haut degré soit $x^2$.
    Limite en $+\infty$
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}x^2=+\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}3x-1=+\infty$

    donc par somme $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$


    Limite en $-\infty$
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}x^2=+\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}3x-1=-\infty$
    donc la limite de la somme est indéterminée.
    Pour tout réel $x<0$ (on peut supposer $x\neq 0$ puisqu'on cherche la limite quand $x \longrightarrow -\infty$), on a:
    $f(x)=x^2+3x-1=x^2\left(1+\dfrac{3}{x}-\dfrac{1}{x^2}\right)$ (terme de plus haut degré en facteur)
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}\dfrac{3}{x}=0$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}\dfrac{1}{x^2}=0$
    donc par somme $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} 1+\dfrac{3}{x}-\dfrac{1}{x^2}=1$
    et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}x^2=+\infty$

    donc par produit $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}f(x)=+\infty$
  2. $f(x)=-3x^3+2x^2-1$ définie sur $\mathbb{R}$.
    En $-\infty$, il faut déterminer $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}-3x^3$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}2x^2$
    En $+\infty$, il y a un cas d'indétermination donc il faut factoriser par le terme de plus haut degré soit $x^3$.


 
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