Exercice 2411

Déterminer les limites avec le tableau de variation-asymptotes-déterminer f

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- lecture des limites à partir du tableau de variation et des asymptotes
- déterminer f
- limite de f en un point où elle n'est pas définie (dénominateur nul)

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On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=a+\dfrac{b}{2x-4}$ sur $\mathbb{R}\setminus\lbrace 2\rbrace$.
On donne ci-dessous le tableau de variation de $f$.
  1. En utilisant le tableau de variation, donner les limites de $f$ aux bornes de sont ensemble de définition et les asymptotes à la courbe représentative de $f$.
    Par lecture du tableau, on peut donner les limites en $+\infty$, $-\infty$, $2^-$ et $2^+$
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}f(x)=\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=\dfrac{1}{2}$
    donc la courbe admet la droite d'équation $y=\dfrac{1}{2}$ pour asymptote en $-\infty$ et $+\infty$.
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^-}f(x)=+\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^+}f(x)=-\infty$
    donc la courbe admet la droite d'équation $x=2$ pour asymptote.
  2. Exprimer la limite de $f$ en $+\infty$ en fonction de $a$ et en déduire la valeur de $a$.
    Déterminer d'abord $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} 2x-4$
  3. Sachant que la courbe représentative de $f$ passe par le point $A$ de coordonnées $A(1;2)$, déterminer $b$.
    Si $C_f$ passe par $A(1;2)$, on a $f(1)=2$ et on a $f(x)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{b}{2x-4}$
  4. Retrouver les limites de $f$ en $x=2$.
    Il faut chercher les limites du numérateur et du dénominateur
    Distinguer les cas $x > 2$ et $x < 2$


 
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