Exercice 2410

Limite d'une fonction rationnelle

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- limites d'une fonction rationnelle en plus et moins l'infini
- limites à droite et à gauche en un point où elle n'est pas définie
- asymptotes à la courbe

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On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{3x-5}{3-x}$ sur $\mathbb{R}\setminus\lbrace 3 \rbrace$.
  1. Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$ en précisant les asymptotes éventuelles à la courbe représentative $C_f$ de $f$.
    Il y a indétermination car les limites du numérateur et du dénominateur sont infinies.
    Il faut donc factoriser le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur (ici $x$)
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}3x-5=-\infty$
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}3-x=+\infty$
    donc la limite du quotient est indéterminée.
    On cherche les limites en $-\infty$ et en $+\infty$ donc on peut supposer $x\neq 0$.
    Pour tout $x\neq 0$, on a:
    $f(x)=\dfrac{3x-5}{3-x}=\dfrac{x\left(3-\dfrac{5}{x}\right)}{x\left(\dfrac{3}{x}-1\right)}=\dfrac{3-\dfrac{5}{x}}{\dfrac{3}{x}-1}$
    Limite en $-\infty$
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}-\dfrac{5}{x}=0$ donc par somme $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}3-\dfrac{5}{x}=3$
    et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}\dfrac{3}{x}=0$ donc par somme $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}\dfrac{3}{x}-1=-1$

    et par quotient $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}f(x)=\dfrac{3}{-1}=-3$


    Limite en $+\infty$
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}-\dfrac{5}{x}=0$ donc par somme $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}3-\dfrac{5}{x}=3$
    et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{3}{x}=0$ donc par somme $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{3}{x}-1=-1$

    et par quotient $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=\dfrac{3}{-1}=-3$

    La droite d'équation $y=-3$ est une asymptote à $C_f$ en $-\infty$ et $+\infty$.
  2. Déterminer la limite de $f$ quand $x$ tend vers $3$.
    Il faut chercher les limites du numérateur et du dénominateur
    Distinguer les cas $x > 3$ et $x < 3$


 
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