Exercice 232

Limite finie en plus l'infini

Contenu

- recherche intuitive de la limite en plus l'infini
- démonstration des limites trouvées avec les définitions des limites

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On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus \lbrace 2 \rbrace$ par $f(x)=\dfrac{1}{x-2}$.
  1. Conjecturer (donner sans justifier) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^+}f(x)$ puis $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^-}f(x)$
    On veut savoir ce qui se passe pour $f(x)$ quand $x \longrightarrow 2$ avec $x> 2 $ puis avec $x < 2$
    On peut chercher d'abord ce qui se passe pour $x-2$ quand $x\longrightarrow 2$ en distinguant les cas $x > 2$ (soit $x \longrightarrow 2^+$ et $x < 2$ (soit $x \longrightarrow 2^-$)
    Lorsque $x \longrightarrow 2^+$ alors $x-2 \longrightarrow 0^+$ (car $x >2 $ donc $x-2 >0$)

    et donc $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^+}f(x)=+\infty$

    Lorsque $x \longrightarrow 2^-$ alors $x-2 \longrightarrow 0^-$ (car $x <2 $ donc $x-2 <0$)

    et donc $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^-}f(x)=-\infty$

  2. Démontrer la limite donnée pour $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^+}f(x)$
    On veut montrer que pour tout $A >0$, il existe un réel $X_0$ tel que pour tout $2 < x < X_0$ on ait $f(x) > A$
    Autrement dit, on veut savoir s'il est possible de rendre $f(x)$ aussi grand que l'on veut quand $x$ est "proche" de 2 avec $x > 2$.

  3. Démontrer la limite donnée pour $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^-}f(x)$
    On veut montrer que pour tout $A <0$, il existe un réel $X_0$ tel que pour tout $ X_0 < x < 2$ on ait $f(x)< A$
    Autrement dit, on veut savoir s'il est possible de rendre $f(x)$ aussi petit que l'on veut quand $x$ est "proche" de 2 avec $x < 2$
    ou bien encore qs'il est possible de rendre $-f(x)$ aussi grand que l'on veut quand $x$ est "proche" de 2 avec $x < 2$


 
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