Exercice 199

Suites liées par une relation

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- montrer qu'une suite n'est ni arithmétique ni géométrique
- montrer qu'une suite associée à (un) est géométrique
- recherche de la forme explicite de la suite (un)

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On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=\dfrac{u_n+5}{u_n-3}$ et $u_0=-2$.
On admet que $u_n\neq 3$ pour tout entier naturel $n$.
  1. Calculer $u_1$ et $u_2$ et montrer que la suite $(u_n)$ n'est ni arithmétique, ni géométrique?
    Il faut montrer que la différence de deux termes consécutifs n'est pas constante puis que le quotient de deux termes consécutifs n'est pas constant
    En prenant $n=0$ dans la relation définissant la suite $(u_n)$ on a:
    $u_{1}=\dfrac{u_0+5}{u_0-3}=\dfrac{-2+5}{-2-3}=\dfrac{3}{-5}=\dfrac{-3}{5}$
    En prenant $n=1$, on a:
    $u_{2}=\dfrac{u_1+5}{u_1-3}=\dfrac{\dfrac{-3}{5}+5}{\dfrac{-3}{5}-3}=\dfrac{\dfrac{22}{5}}{\dfrac{-18}{5}}=\dfrac{22}{5}\times \dfrac{5}{-18}=\dfrac{-22}{18}=\dfrac{-11}{9}$

    $u_1=\dfrac{-3}{5}$ et $u_2=\dfrac{-11}{9}$

    $u_1-u_0=\dfrac{-3}{5}-(-2)=\dfrac{7}{5}$ et $u_2-u_1=\dfrac{-11}{9}-\dfrac{-3}{5}=\dfrac{-28}{45}$
    La différence de deux termes consécutifs n'est donc pas constante

    donc la suite $(u_n)$ n'est pas arithmétique.

    $\dfrac{u_1}{u_0}=\dfrac{\dfrac{-3}{5}}{-2}=\dfrac{3}{10}$ et $\dfrac{u_2}{u_1}=\dfrac{\dfrac{-11}{9}}{\dfrac{-3}{5}}=\dfrac{-11}{9}\times \dfrac{5}{-3}=\dfrac{55}{27}$
    Le quotient de deux termes consécutifs n'est pas constant

    donc la suite $(u_n)$ n'est pas géométrique.
  2. Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n=\dfrac{u_n+1}{u_n-5}$.
    Montrer que la suite $(v_n)$ soit géométrique.
    On veut montrer qu'il existe un réel $q$ tel que $v_{n+1}=qv_n$
    $v_{n+1}=\dfrac{u_{n+1}+1}{u_{n+1}-5}$ avec $u_{n+1}=\dfrac{u_n+5}{u_n-3}$...
  3. En déduire l'expression de $v_n$ puis de $u_n$ en fonction de $n$.
    Il faut calculer $v_0$
    Il faut ensuite utiliser $v_n=\dfrac{u_n+1}{u_n-5}$ et isoler $u_n$


 
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