Exercice 198

Exercice de recherche sur les suites

Contenu

- suite définie par une relation de récurrence
- montrer qu'une suite est géométrique
- déterminer la forme explicite d'une suite géométrique
- calcul de la somme des termes d'une suite géométrique
- recherche de la forme explicite et de la limite d'une suite

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Soit $(Un)$ la suite définie par $u_0=6$ et $u_1 =1$ et $u_{n+2}=\dfrac{3}{2}u_{n+1}-\dfrac{1}{2}u_n$.
  1. Calculer $u_2$ et $u_3$.
    La suite $(u_n)$ est-elle arithmétique? géométrique?
    Il faut prendre successivement $n=0$ puis $n=1$ dans la relation donnée.
    Il faut ensuite vérifier que la différence de deux termes consécutifs n'est pas constante et faire de même avec les quotients (voir fiche méthode suites arithmétiques et géométriques)
    En prenant $n=0$, on a:
    $u_2=u_{0+2}=\dfrac{3}{2}u_{1}-\dfrac{1}{2}u_0=\dfrac{3}{2}\times 1-\dfrac{1}{2}\times 6=-\dfrac{3}{2}$
    En prenant $n=1$ dans cette même relation définissant la suite $(u_n)$, on a:
    $u_3=u_{1+2}=\dfrac{3}{2}u_{2}-\dfrac{1}{2}u_1=\dfrac{3}{2}\times \dfrac{-3}{2}-\dfrac{1}{2}\times 1=\dfrac{-9}{4}-\dfrac{2}{4}=\dfrac{-11}{4}$

    $u_0=6$, $u_1=1$, $u_2=\dfrac{-3}{2}$ et $u_2=\dfrac{-11}{4}$

    Remarque
    Penser à contrôler avec la calculatrice (voir dernière question)
    $u_1-u_0=1-6=-5$ et $u_2-u_1=\dfrac{-3}{2}-1=\dfrac{-5}{2}$
    donc $u_2-u_1\neq u_1-u_0$

    donc la suite $(u_n)$ n'est pas arithmétique.

    $\dfrac{u_1}{u_0}=\dfrac{1}{6}$ et $\dfrac{u_2}{u_1}=\dfrac{\dfrac{-3}{2}}{1}=\dfrac{-3}{2}$
    donc $\dfrac{u_2}{u_1}\neq \dfrac{u_1}{u_0}$

    donc la suite $(u_n)$ n'est pas géométrique.
  2. Soit $(v_n)$ la suite définie pour tout naturel $n$ par $v_n=u_{n+1}-u_n$.
    Montrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique.
    Il faut montrer que $v_{n+1}=v_n+r$ en utilisant $v_{n+1}=u_{n+2}-u_n$ et $u_{n+2}=\dfrac{3}{2}u_{n+1}-\dfrac{1}{2}u_n$
  3. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, en déduire une expression de $u_n$ en fonction de $n$.
    On a $u_{n+1}=v_n+u_n$
    Ecrire cette égalité pour $n=0$, $n=1$, $n=2$ pour voir ce qui se passe
  4. Quelle est alors la limite de la suite $(u_n)$?
    On cherche la limite de $\dfrac{5}{2^n}$ quand $n \longrightarrow +\infty$


 
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